Funzione aritmetica $\omega$ (semplice)
Sia $omega(n)$ la funzione che restituisce il numero di numeri primi che dividono $n$.
Calcolare il limite inferiore e superiore di $(omega(n))/(omega(n+1))$ per $n in NN^+$
Calcolare il limite inferiore e superiore di $(omega(n))/(omega(n+1))$ per $n in NN^+$
Risposte
non sono molto sicuro del teoremone che ho utilizzato... ma mi pare venga $0$ e $infty$.... o no?
"Thomas":
non sono molto sicuro del teoremone che ho utilizzato... ma mi pare venga $0$ e $infty$.... o no?
Dovrebbe venire $pi^2$ e $e^12$
Dai posta la tua soluzione, non basta il risultato!
Tra l'altro sono curioso di sapere che teoremone hai usato...
Ok... credo si chiami teorema di Dirchlet. Ovvero, presi $a$ e $b$ primi tra loro esistono infiniti primi della forma $ax+b$... (la serie aritmetica contiene infiniti primi)... almeno credo fosse così. In tal caso dimostro per esempio che non esiste massimo:
prendo $a=p_1p_2...p_m$ e $b=1$. Esiste un primo (anche infiniti!) t.c. $p=ax+1$. Prenso allora $n=ax$, si ha:
$omega(n)>=m$, $omega(n+1)=1$, da cui $(omega(n))/(omega(n+1))>=m$...
vista l'arbitrarietà di m non esiste massimo...
analogamente con $b=-1$ (o $b=p_1p_2...p_m-1$) si dimostra che ci si può avvicinare indefinitamente a zero...
funzia?
prendo $a=p_1p_2...p_m$ e $b=1$. Esiste un primo (anche infiniti!) t.c. $p=ax+1$. Prenso allora $n=ax$, si ha:
$omega(n)>=m$, $omega(n+1)=1$, da cui $(omega(n))/(omega(n+1))>=m$...
vista l'arbitrarietà di m non esiste massimo...
analogamente con $b=-1$ (o $b=p_1p_2...p_m-1$) si dimostra che ci si può avvicinare indefinitamente a zero...
funzia?
Si è il teorema di Dirichlet... la tua dimostrazione è giusta anche se non è necessario usare mezzi così pesanti.
Calcolo il limite superiore.
Prendiamo $n=2^(2^k)-1$, allora sarà
$n=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^(2^2)+1)...(2^(2^(k-1))+1)=F_0 F_1 F_2 ... F_(k-1)$
dove $F_n$ è l'ennesimo numero di Fermat. Sappiamo (e si dimostra proprio con l'identità sopra) che per $i != j$ $gcd(F_i,F_j)=1$, quindi
$\omega(n)=\omega(F_0)+\omega(F_1)+\omega(F_2)+...+\omega(F_(k-1))>=k$
e del resto $\omega(n+1)=1$. Quindi il limite superiore $(\omega(n))/(\omega(n+1))$ è uguale a $infty$.
Vediamo se qualcuno ha qualche idea per il limite inferiore
Calcolo il limite superiore.
Prendiamo $n=2^(2^k)-1$, allora sarà
$n=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^(2^2)+1)...(2^(2^(k-1))+1)=F_0 F_1 F_2 ... F_(k-1)$
dove $F_n$ è l'ennesimo numero di Fermat. Sappiamo (e si dimostra proprio con l'identità sopra) che per $i != j$ $gcd(F_i,F_j)=1$, quindi
$\omega(n)=\omega(F_0)+\omega(F_1)+\omega(F_2)+...+\omega(F_(k-1))>=k$
e del resto $\omega(n+1)=1$. Quindi il limite superiore $(\omega(n))/(\omega(n+1))$ è uguale a $infty$.
Vediamo se qualcuno ha qualche idea per il limite inferiore
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