Frazionare un volume

[axpgn]

Supponete di avere un recipiente di vetro trasparente, di sezione irregolare e di volume $V$, una brocca di terracotta di volume alquanto maggiore di $V$, una matita, un'infinita sorgente d'acqua e un tappo per il recipiente di vetro.

Come procedereste per determinare una quantità d'acqua che sia pari ad una qualsiasi frazione razionale del volume $V$?


Cordialmente, Alex

[ElementareWatson]

Mi ci sono messo un´oretta perchè mi interessava come problema ma non ne sono venuto a capo.

inserisco giusto i dati che ho preso e qualche mia considerazione e magari un´altra volta ci riprovo:

volume1 = $v_1$
volume2 = $v_2$
tempo1 = $t_1$ (tempo per riempire $v_1$)
tempo2 = $t_2$ (tempo per riempire $v_2$)

Si ha che (1) $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_1}{t_2}$ perchè la sorgente dell´acqua è una.

Un´altra cosa che potrei fare è considerare $v_1$ come unità di misura per $v_2$ e scegliere $v_2 = kv_1 + \frac{1}{nv_1}$ e credo senza ledere di generalità mi basta $k = 1$ per il problema.

a questo punto (1) diventa $\frac{v_1}{v_1 + \frac{1}{nv_1}} = \frac{t_1}{t_2}$

quindi $n = \frac{t_1}{v_1^2(t_2 - t_1)}$

e $v_2 = v_1 + v_1\frac{t_2 - t_1}{t_1}$ (correzione ''$v_1 +$'')

a questo punto posso riscrivere i miei dati in relazione ad elementi che posso tutti calcolare con precisione:

volume1 = $v_1$
volume2 = $v_1 + v_1\frac{t_2 - t_1}{t_1}$ (correzione ''$v_1 +$")
tempo1 = $t_1$
tempo2 = $t_2$

ed adesso credo che dovrei cercare di sfruttare tempi e matita per fare delle tacche sulla brocca, ma non ho alcuna idea e per ora qui mi fermo.

[axpgn]

L'orologio non è compreso tra gli strumenti che si possono usare

[ElementareWatson]

"axpgn":L'orologio non è compreso tra gli strumenti che si possono usare

Allora non ho proprio idea di come cominciare

[gabriella127]

Hint:

Hint non granché, nel senso che non l'ho risolto, ma vi dico l'idea che ho avuto leggendolo.
Poiché si parla di tappo, che dovrebbe servire a qualcosa, si tratta di ribaltare il recipiente di vetro.
E poiché è di vetro, ci puoi guardare l'acqua dentro, e ci puoi fare le tacche con la matita in corrispondenza del livello dell'acqua.
Ad esempio: per stabilire $1/2$ del recipiente, ci versi a occhio l'acqua e fai una tacca dove arriva. Poi lo ribalti, se arriva esatto alla tacca è $1/2$, se no aggiungi o togli acqua (facendo tacche via via) finche i livelli non coincidono.
Non ho pensato come fare con altre frazioni, ma lo lascio a voi, ché mi stresso .

[axpgn]

Hint importante

[gabriella127]

Grazie! Ora che lavorino gli altri!

[Faussone]

Aveva incurisito anche me, avevo fatto le considerazioni riportate da Gabriella, oltre alla facile deduzione che è facile determinare metà livello, avevo poi messo a punto una procedura iterativa, ma non ero riuscito a dimostrarne la convergenza...
Inoltre da quella procedura non sarei riuscito comunque a trovare una frazione arbitraria di liquido, ma piuttosto a stabilire da un riempimento arbitrario la frazione corrispondente, che non mi pare la richiesta del quesito.
Proverò a ripensarci in futuro, ammesso che nessuno lo risolva prima... (io sono pigro e curioso e quello che c'è sotto spoiler lo leggo sempre).

@axpgn Comunque ti assicuro che non ho pensato a mettere il tutto sul fuoco e spegnere la fiamma una volta portato a bollore

[ElementareWatson]

Ritorno qui perchè credo abbia risolto il problema, o meglio credo che gabriella127 lo abbia risolto, non avevo dato molta importanza all'hint perchè non lo avevo capito inizialmente

Dunque, se voglio ottenere \(\displaystyle \frac{v}{n} \) mi basta dividere $v$ per $n$ e fare n tacche più o meno uguali, fino all'ultima che è quella che mi serve dunque metto il contenuto dell'ultima tacca nella brocca e faccio un segno anche li, ed ora per $n$ volte riempo la brocca alla tacca e verso nel contenitore di vetro, se all´n-esimo riempimento sono a filo con la fine del contenitore quella tacca sul fondo da \(\displaystyle \frac{v}{n} \) altrimenti aggiusto il tiro, una volta ottenuta la tacca \(\displaystyle \frac{1}{n} \) e scontato ottenere per ogni $m$ minore o uguale ad $n$ la frazione \(\displaystyle \frac{mv}{n} \)

ma... il tappo?

[axpgn]

Non mi è affatto chiara la tua procedura ma, tra le altre cose, faccio presente che la sezione non è costante.

[ElementareWatson]

"axpgn":faccio presente che la sezione non è costante.

provo a spiegarmi meglio:

Faccio un segno dove per me è \(\displaystyle \frac{v}{n} \) a questo punto verso nella brocca e faccio un segno sulla brocca, ora rimetto nel contenitore di vetro quello che c'è nella brocca, lo faccio per n-volte, se alla fine sono sull'orlo il mio segno era ad \(\displaystyle \frac{v}{n} \) se sono sopra (cade acqua) il segno era $>\frac{v}{n}$ e così via. Una volta ottenuto \(\displaystyle \frac{v}{n} \) ho finito.

se non va bene anche per oggi ci rinuncio

[gabriella127]

"ElementareWatson":

ma... il tappo?

Eh, il tappo è fondamentale, perché serve a ribaltare il contenitore, se no l'acqua cade ...

Nella soluzione è importante il ribaltone , almeno questo è il mio ansatz (piaciuto ansatz? )

[ElementareWatson]

Ma il ribaltone (lol) puoi farlo solo con $\frac{v}{2}$ o mi sbaglio?

[axpgn]

La brocca non è trasparente, è di terracotta

[gabriella127]

"ElementareWatson":Ma il ribaltone (lol) puoi farlo solo con $\frac{v}{2}$ o mi sbaglio?

E' quello il punto, io credo di no, credo che serve anche in altri casi, con ribaltoni e travasi da una recipiente al'altro qualcosa si deve poter combinare per risolvere.

[ElementareWatson]

"axpgn":La brocca non è trasparente, è di terracotta

Beh posso fare il contrario, riempi n volte l’ultima tacca in quella di vetro e verso n volte nel vaso di terracotta, poi verso tutto in quello di vetro

[ElementareWatson]

"gabriella127":
E' quello il punto, io credo di no, credo che serve anche in altri casi, con ribaltoni e travasi da una recipiente al'altro qualcosa si deve poter combinare per risolvere.

Credo tu abbia ragione, mi sto fissando troppo su un unico metodo di agire…

[axpgn]

"ElementareWatson":Beh posso fare il contrario, riempi n volte l’ultima tacca in quella di vetro e verso n volte nel vaso di terracotta, poi verso tutto in quello di vetro

E quindi? Non hai ancora determinato se quella tacca corrisponde ad un $n$-esimo oppure no, come procedi per giungere a ciò? E poi non capisco perché se valesse un $n$-esimo dovresti versarla $n$ volte

[ElementareWatson]

Mi metto al pc perchè così scrivo meglio.

Ho pensato in questo modo, faccio tutti i passaggi così non si creano incomprensioni:

Mi fa strano anche il fatto di segnare a matita un contenitore di vetro, quindi diciamo che metto i due contenitori vicini e faccio un segno in basso all´esterno del vaso di terracotta dove penso sia $\frac{v}{n}$ ok ora riempo tenendo vicini i due recipienti quello di vetro alla tacca di quello di terracotta, se ho fatto un segno giusto sarà $\frac{v}{n}$ ipotizziamo sia giusto, allora se per $n$-volte verso quella quantità dal recipiente di vetro a quello nella brocca di terracotta, li ci sarà esattemente un volume $v$ di acqua. Quindi se la travaso nel recipiente di vetro arriverà perfettamente all'orlo. se invece il segno è sbagliato ci sono 2 possibilità:

1- ho fatto un segno troppo in alto ed al travaso finale mi accorgo che il recipiente di vetro non basta dunque il segno indica un volume $>\frac{v}{n}$, dovrò allora fare un segno più basso.

2- ho fatto un segno troppo in basso ed al travaso finale non riempo tutto il recipiente di vetro, dunque il mio segno indica un volume $<\frac{v}{n}$, dovrò allora fare un segno più alto.

Inizio ad odiare questo problema

[axpgn]

I due contenitori hanno forme (oltreché volumi) diversi, a che ti serve segnare il vaso di terracotta (dove peraltro il segno esterno non corrisponderà al livello interno dell'acqua)?
Segna direttamente il vetro, no?
Peraltro il tuo metodo non mi pare altro che cercare per tentativi la frazione $n$-esima con in più lo svantaggio, ad ogni tentativo, di ripetere i versamenti per quante volte compare al numeratore.

[ElementareWatson]

"axpgn":I due contenitori hanno forme (oltreché volumi) diversi

Questo è ininfluente.

"axpgn":Peraltro il tuo metodo non mi pare altro che cercare per tentativi la frazione $n$-esima con in più lo svantaggio, ad ogni tentativo, di ripetere i versamenti per quante volte compare al numeratore.

Esatto, è quello che volevo fare, è un algoritmo che credo porti ad una soluzione, orribile, vero, però credo funzioni, se si stabilisce una unità di misura minima e si riporta il problema sul piano fisico lo potrebbe risolvere così una macchina. l'idea me la ha data gabriella127 con il suo metodo di aggiustare la tacca in modo da trovare $\frac{v}{2}$

Aggiungo che non mi piace, mi sono interessato a questo problema perchè penso ci sia una soluzione più teorica, ma non vedo ancora come, per questo rispondevo all'utente gabriella127 con il messaggio "mi sto fissando troppo su un unico modo di agire"