Frazionare un volume

[axpgn]

Supponete di avere un recipiente di vetro trasparente, di sezione irregolare e di volume $V$, una brocca di terracotta di volume alquanto maggiore di $V$, una matita, un'infinita sorgente d'acqua e un tappo per il recipiente di vetro.

Come procedereste per determinare una quantità d'acqua che sia pari ad una qualsiasi frazione razionale del volume $V$?


Cordialmente, Alex

[Faussone]

Mi pare sia possibile determinare qualunque frazione del tipo $1/2^n$.
Per trovare la frazione $1/4$ infatti si parte col recipiente pieno a metà se ne toglie un volume di tentativo e si mette nel vaso di terracotta, quindi si segna il livello di liquido rimanente, si butta via ciò che rimane nel recipiente di vetro e si vuota nel vaso di vetro la quantità sottratta in precedenza, se il livello arriva alla quota appena segnata allora il nuovo segno corrisponde a $1/4$ altrimenti si ripete il tentativo, cambiando la quantità di liquido tolto rispetto a mezzo riempimento, a seconda se il tentativo è andato in precedenza male a causa di liquido sopra il livello di tentativo o sotto.
In maniera simile procedo fino a trovare tutte le frazioni $1/2^n$.

A questo punto, a pensarci bene (o male, non so) data che la serie $sum_{n=1}^{n=N} 1/2^n$ per $N$ grande converge a 1, sono in grado in pratica di trovare qualunque frazione arbitraria come somma di frazioni esprimibili come $m/2^n$... almeno spero, ma temo di no, quindi come non detto...
Sono un ingegnere di bassa lega io, non un matematico

[gabriella127]

Altro hint, un po' a cavolo, ma ci proviamo

Il testo dice che la brocca è di volume 'alquanto più grande ' del recipiente. Perché? A qualcosa dovrà servire 'sto volume più grande.
Provo a pensarci su, ma boh.

@Faussone, W gli ingegneri e il loro sapere, lascia stare questi matematici che, come diceva un mio zio ingegnere, "nun sanno manco inchiavardà 'nu spruoccolo"

[axpgn]

@Faussone
Sostanzialmente sì,

Una volta stabilito dove si trova $V/2$, si procede in modo quasi simile.
Si parte da tutto vuoto, si riempie il vetro con $V/2$, lo si versa nella brocca, si versa nel vetro la quantità presunta $V/4$, si segna il livello, si versa dalla brocca al vetro, si tappa e si ribalta.
Se i livelli coincidono, bene, altrimenti si annota se si è scarsi o abbondanti e si ricomincia daccapo.
Stabilito il segno relativo a $V/4$, si continua con $V/8, V/16, ...$.

Per determinare una qualsiasi frazione, è sufficiente lavorare in binario.
Per esempio per convertire $1/5$ in binario si parte con $0.$ poi basta raddoppiare e togliere $1$ quando lo si supera cioè $1/5=0. ..., 2/5=0.0..., 4/5=0.00..., 8/5=0.001...=3/5, 6/5=0,0011...=1/5, ....$

Più o meno si può fare allo stesso modo senza tappo ma partendo da un contenitore di vetro su cui sia marcato il segno per $V$

Cordialmente, Alex

[Faussone]

"axpgn":@Faussone
Sostanzialmente sì,

Ah bene!

Io in pratica ho trovato il modo senza coperchio direttamente, non ero sicuro "valesse" approssimare una frazione qualunque con un numero virtualmente infinito di riempimenti e il fatto di non aver usato neanche l'informazione che il volume del vaso fosse maggiore di quello del recipiente (addirittura basta sia la metà in pratica se adotto la procedura che ho pensato io che non usa il tappo) mi faceva sospettare ci fosse un altro metodo ancora più pratico.
Avevo pensato anche una procedura che trova varie tacche che dividono il volume in $n$ frazioni $1/n$, ma anche in quel caso poi se ho da calcolare una frazione il cui denominatore non sia divisore di $n$ devo ricominciare e cercare tacche nuove e quindi è peggio del metodo precedente.