Figli e figlie di Bayes
La famiglia Bayes ha due figli non gemelli. Entra nel salotto uno di essi ed è maschio, calcolare la probabilità che anche l'altro sia maschio
1) sapendo che è più giovane
2) non sapendo nulla sulla sua età
PS: ipotizzare che la probabilità di nascere maschio o femmina sia la stessa.
1) sapendo che è più giovane
2) non sapendo nulla sulla sua età
PS: ipotizzare che la probabilità di nascere maschio o femmina sia la stessa.
Risposte
1)$1/2$
2)$1/3$
2)$1/3$
Secondo me, se si accetta la soluzione di kroldar, sarebbe come affermare che i numeri ritardatari nel lotto hanno più probabilità di uscire...
Lascerei fuori il lotto dalla discussione perchè altrimenti diventa il classico tormentone!
@Kroldar
potresti spiegare i passaggi?
ciao a tutti
@Kroldar
potresti spiegare i passaggi?
ciao a tutti
Lascerei fuori il lotto dalla discussione perchè altrimenti diventa il classico tormentone!Ok, rimangio tutto.
Sarebbe come dire che gli eventi hanno memoria.
Si può fare lo stesso esempio con il lancio della moneta o con il lancio di un dado.
"mirco59":
....
potresti spiegare i passaggi?
ciao a tutti
Le varie possibilità, in ordine temporale, sono:
a) F, M
b) F, F
c) M, M
d) M, F
1) In questo caso lo spazio campionario si riduce a (a) e (c).
2) Lo spazio campionario diventa (a), (c) e (d).
Se io lancio una moneta 3 volte e ottengo testa tutte e tre le volte, qual'è la probabilità che lanciando la stessa moneta una quarta volta ottenga croce?
"cheguevilla":
Se io lancio una moneta 3 volte e ottengo testa tutte e tre le volte, qual'è la probabilità che lanciando la stessa moneta una quarta volta ottenga croce?
se la moneta non è truccata, allora la probabilità è $1/2$, cioè il processo di lancio è memoryless
E la nascita dei figli non lo è?
"cheguevilla":
E la nascita dei figli non lo è?
idem
beh, nella vita vera un po' di memoria c'è
di solito chi ha un figlio non se lo dimentica tanto facilmente
anche se qualcuno lo lascia all'autogrill
di solito chi ha un figlio non se lo dimentica tanto facilmente
anche se qualcuno lo lascia all'autogrill
"Fioravante Patrone":
beh, nella vita vera un po' di memoria c'è
di solito chi ha un figlio non se lo dimentica tanto facilmente
anche se qualcuno lo lascia all'autogrill
Leggevo nella cronaca qualche tempo fa ( e han fatto anche un film ) che più che il figlio veniva dimenticata all' autogrill la moglie ...
idemBenissimo.
Allora se io lancio 3 volte la moneta e ottengo testa, lanciandola una quarta ho $P(C)=1/2$.
Se io lancio 4 volte una moneta e nei primi tre lanci ho ottenuto testa, la probabilità che il quarto lancio sia croce non dovrebbe essere sempre $P(C)=1/2$?
OK
Conoscevo la soluzione di MaMo e non ci trovo nulla di sbagliato. Tuttavia mi ritrovo anche nel ragionamento di Cheguevilla.
In altre parole, cosa posso trarre come informazione dal fatto di sapere che il primo è più giovane riguardo alla probabilità sul sesso del secondo?
E se era più vecchio?
Conoscevo la soluzione di MaMo e non ci trovo nulla di sbagliato. Tuttavia mi ritrovo anche nel ragionamento di Cheguevilla.
In altre parole, cosa posso trarre come informazione dal fatto di sapere che il primo è più giovane riguardo alla probabilità sul sesso del secondo?
E se era più vecchio?
cosa posso trarre come informazione dal fatto di sapere che il primo è più giovane riguardo alla probabilità sul sesso del secondo?Il fatto che sia nato dopo.
E se era più vecchio?
Quindi, al lancio n+1.
Se si accetta che l'evento abbia la proprietà dell'assenza di memoria, è irrilevante.
Secondo me.
"cheguevilla":
Allora se io lancio 3 volte la moneta e ottengo testa, lanciandola una quarta ho $P(C)=1/2$.
Se io lancio 4 volte una moneta e nei primi tre lanci ho ottenuto testa, la probabilità che il quarto lancio sia croce non dovrebbe essere sempre $P(C)=1/2$?
scusa che, forse capisco male, ma mi sembra che hai scritto due problemi identici...
forse l'esempio giusto sarebbe
si lancia quattro volte una moneta:
probabilita' di ottenere una croce per la prima volta al quarto lancio. 1/16
probabilita' di ottenere una croce al quarto lancio sapendo che sono uscite 3 teste. 1/2
bisogna ammettere che questi risultati si prestano a fraintendimenti e ad equivoci sulla "memoria" degli eventi....
bha'... a me la probabilita' proprio non piace...
Giuseppe, il discorso è lunghissimo. La disputa in probabilità è annosa.
Lo dimostra la risposta data da Kroldar.
Semplificando al massimo, risulta:
Lancio due volte una moneta. So che il primo tentativo è stato testa. Probabilità che il secondo lancio sia croce:
Secondo la mia visione, la probabiltà che il secondo lancio sia croce è $1/2$.
Però, seguendo il ragionamento (non sbagliato) di kroldar, che considera l'intero esperimento come un singolo evento somma di eventi elementari:
Le possibili uscite sono:
TT
TC
CT
CC
Sapendo che la prima volta è uscita testa, basta escludere dallo spazio campionario i due risultati che hanno croce come primo lancio. In questo caso, il risultato è uguale.
Ma...
Supponiamo di lanciare due monete (perfettamente identiche) contemporaneamente; prima che si possa capire la faccia delle due monete, una viene fermata e tenuta nascosta.
Secondo il mio ragionamento, la probabilità che quella nascosta sia croce è sempre $1/2$, poichè indipendente dall'altra moneta.
Seguendo l'impostazione di kroldar, come spiegato da MaMo, dei quattro eventi possibili a priori, solamente l'evento CC è da escludere.
Questo perchè ora l'ordine in cui si sono verificati gli eventi non è determinabile.
Pertanto, l'evento favorevole (ottenere una croce sulla moneta nascosta) è solo uno (TC) mentre gli eventi possibili sono tre (TC, CT, TT).
Entrambi i ragionamenti sembrano filare, ma uno contiene un sottile errore.
Lo dimostra la risposta data da Kroldar.
Semplificando al massimo, risulta:
Lancio due volte una moneta. So che il primo tentativo è stato testa. Probabilità che il secondo lancio sia croce:
Secondo la mia visione, la probabiltà che il secondo lancio sia croce è $1/2$.
Però, seguendo il ragionamento (non sbagliato) di kroldar, che considera l'intero esperimento come un singolo evento somma di eventi elementari:
Le possibili uscite sono:
TT
TC
CT
CC
Sapendo che la prima volta è uscita testa, basta escludere dallo spazio campionario i due risultati che hanno croce come primo lancio. In questo caso, il risultato è uguale.
Ma...
Supponiamo di lanciare due monete (perfettamente identiche) contemporaneamente; prima che si possa capire la faccia delle due monete, una viene fermata e tenuta nascosta.
Secondo il mio ragionamento, la probabilità che quella nascosta sia croce è sempre $1/2$, poichè indipendente dall'altra moneta.
Seguendo l'impostazione di kroldar, come spiegato da MaMo, dei quattro eventi possibili a priori, solamente l'evento CC è da escludere.
Questo perchè ora l'ordine in cui si sono verificati gli eventi non è determinabile.
Pertanto, l'evento favorevole (ottenere una croce sulla moneta nascosta) è solo uno (TC) mentre gli eventi possibili sono tre (TC, CT, TT).
Entrambi i ragionamenti sembrano filare, ma uno contiene un sottile errore.
esatto, avevo capito!
io propenderei istintivamente per la "tua" soluzione, ma quella giusta e' appunto l'altra...
ma il motivo per cui non mi piace la probabilita' e' che non riesco a capire cosa sia...
"il grado di conoscenza che si ha di un evento" e' la definizione soggettiva, mi pare che manchi quella oggettiva (almeno a me manca) (non si dica probabilita' = casi favorevoli/ casi possibili, perche' bisognerebbe aggiungere "purche' equiprobabili" il che ci riporterebbe al problema di partenza)
ma in fondo, se io so che ho la probabilita' di ottenere un sei lanciando un dado e' 1/6, che informazione mi da' all'atto pratico? che scommettere e a sei volte la posta e' un gioco equo? e che significa? non so se mi sono spiegato...
ora, sono a conoscenza dell'importanza che la probabilita' riveste in altre disci[pline, a cominciare dalla Fisica, ma... a me proprio non riesce facile accettarla come "scienza esatta" e quindi come parte della Matematica...
mha... chissa' se sono riuscito a farmi capire....
ciao ciao
io propenderei istintivamente per la "tua" soluzione, ma quella giusta e' appunto l'altra...
ma il motivo per cui non mi piace la probabilita' e' che non riesco a capire cosa sia...
"il grado di conoscenza che si ha di un evento" e' la definizione soggettiva, mi pare che manchi quella oggettiva (almeno a me manca) (non si dica probabilita' = casi favorevoli/ casi possibili, perche' bisognerebbe aggiungere "purche' equiprobabili" il che ci riporterebbe al problema di partenza)
ma in fondo, se io so che ho la probabilita' di ottenere un sei lanciando un dado e' 1/6, che informazione mi da' all'atto pratico? che scommettere e a sei volte la posta e' un gioco equo? e che significa? non so se mi sono spiegato...
ora, sono a conoscenza dell'importanza che la probabilita' riveste in altre disci[pline, a cominciare dalla Fisica, ma... a me proprio non riesce facile accettarla come "scienza esatta" e quindi come parte della Matematica...
mha... chissa' se sono riuscito a farmi capire....
ciao ciao
"Giusepperoma":
"il grado di conoscenza che si ha di un evento" e' la definizione soggettiva, mi pare che manchi quella oggettiva (almeno a me manca) (non si dica probabilita' = casi favorevoli/ casi possibili, perche' bisognerebbe aggiungere "purche' equiprobabili" il che ci riporterebbe al problema di partenza)
ma in fondo, se io so che ho la probabilita' di ottenere un sei lanciando un dado e' 1/6, che informazione mi da' all'atto pratico? che scommettere e a sei volte la posta e' un gioco equo? e che significa? non so se mi sono spiegato...
i fondamenti della prob sono "disputed"
come i fondamenti di tutte le cose importanti
a me pare che vi siano elementi buoni sia nell'approccio soggettivista che in quello frequentista
propenderei per un sano sincretismo
"Giusepperoma":
ora, sono a conoscenza dell'importanza che la probabilita' riveste in altre disci[pline, a cominciare dalla Fisica, ma... a me proprio non riesce facile accettarla come "scienza esatta" e quindi come parte della Matematica...
posso dire la mia?
sì, la sto dicendo!
prob è un po' come la TdG
è un pezzo della matematica, ma al contempo è anche un pezzo di mate applicata
come tale, si deve sporcare le mani con le interpretazioni dei suoi "assiomi" etc.
e qui vengono i guai. Ma, mi sia consentito, ben vengano! I guai sono vita
Come in TdG. Se mi limito a preoccuparmi di studiare gli equilibri di Nash, o altre idee di soluzione (ce ne sono a bizzeffe), vivo nella placida e tranquilla palude(*) della mate
Se poi cerco di capire se, perché e percome abbia senso fare previsioni basate sull'equilibrio di Nash, allora qui sì che cominciano le danze
(*) la mate può essere un mare in tempesta. Questo però non vale per il 99% della "working mathematics" (per parafrasare un famoso titolo di un libro sulla teoria delle categorie). Per questa, la mate è un golfo tranquillo (una baia notturna, illuminata dalla luna e senza un alito di vento). A me ricorda di più una palude, ma capisco chi apprezza i golfi placidi.
"cheguevilla":
Questo perchè ora l'ordine in cui si sono verificati gli eventi non è determinabile.
Pertanto, l'evento favorevole (ottenere una croce sulla moneta nascosta) è solo uno (TC) mentre gli eventi possibili sono tre (TC, CT, TT).
Entrambi i ragionamenti sembrano filare, ma uno contiene un sottile errore.
Prima degli sproloqui, vorrei dire due mie idee riguardo agli eventi equi-probabili di Giuseppe-Roma (idee che mi piacerebbe chiarire
)... io non è che sappia molto, ma definirei due eventi equi-probabili quando vi è completa simmetria tra di essi, ovvero quando preferire uno ad un altro sarebbe come voler violare una eventuale iso-qualcosa (isotropia, isocronia,... ) che noi consideriamo una legge di natura ed alla quale vorremmo non rinunciare; a questo punto da eventi equi-probabili elementare se ne possono costruire altri di più complessi e meno-evidenti combinandoli tra loro...
in conclusione, la probabilità può essere vista come un numero che quantifica semplicemente "quanto asimmetrica" è una certa situazione...
Passando ora al posto di Chegue:
beh chegue... se dici che gli eventi sono contemporanei non ha senso più la divisione iniziale (TC,CT,TT,CC), che era una divisione temporale... questo per il seconda ragionamento;
con l'altro ragionamento sono d'accordo fino ad un certo punto. Mi spiego: supponiamo che ti venga fatta la domanda: che probabilità vi è che la moneta B (quella che un eventuale uomo tiene nella sua mano?)sia testa??? (notare che le monete si distinguono in una moneta A ed una B, ma non per ordine temporale che per ipotesi non esiste)... il tipo inoltre ti può dare diverse informazioni, per esempio:
1a) una moneta fra le 2 è testa;
2a) la moneta A è testa;
3a) la moneta B è testa;
4a) arrangiati;
in ognuno di questi casi la soluzione è diversa visto che è diverso il grado di conoscenza dell'evento... non mi pare chiaro quale caso sia quello del tuo problema;
- se invece le monete non cadono contemporaneamente, la questione è diversa e simile ai figli di Bayes... certo rimane uguale se l'eventuale tipo non ci dà alcuna informazione di tipo temporale sulle monete; se ci dicesse solo che una fra le 2 è testa ricadremmo nel caso precedente 1a) (ove la distinzione moneta A e moneta B può essere sostituita da "la moneta che cade prima" e "quella che cade dopo")...
per concludere, le monete sono state distinte in "caduta prima" e "caduta dopo", ma potevano essere anche distinte in A e B (come prima) e considerare nell'albero i dovuti casi di ordini temporali di caduta (forse in quest'ultimo caso è più evidente all'intuito che i casi sono equi-probabili, non so...) ottenendo il medesimo risultato (credo)...
sono stato contorto, lo so... ma credo di essere un pò influenzato... perdonatemi!
... mi rimetto a gente competente per sottolineare le boiate che ho scritto e farmi imparare qualcosa... ciao!
Grazie a tutti.
Devo dire che questa interessante discussione mi ha però lasciato nel limbo di prima, almeno con la (magra) consolazione che la mia perplessità era fondata.
Mi sembra infatti che, al di là di preferire l'una o l'altra, non vi sia da parte di alcuno una vera e propria critica logica alla posizione diversa. Se questa impressione è vera (spero di essere smentito), dobbiamo concludere che non abbiamo ragioni di dare al problema una soluzione condivisa?
Se è così, possiamo attribuire questo alla indeterminatezza con cui è 'definita' la probabilità?
Devo riconoscere che questa conclusione mi disturba un po', vista la elementarietà del problema e anche il fatto che tale questione non l'ho mai trovata discussa in relazione al problema proposto (almeno in quei pochi libri che ho letto sull'argomento).
Mi farebbe piacere avere la vostra opinione su questo.
ciao a tutti
Devo dire che questa interessante discussione mi ha però lasciato nel limbo di prima, almeno con la (magra) consolazione che la mia perplessità era fondata.
Mi sembra infatti che, al di là di preferire l'una o l'altra, non vi sia da parte di alcuno una vera e propria critica logica alla posizione diversa. Se questa impressione è vera (spero di essere smentito), dobbiamo concludere che non abbiamo ragioni di dare al problema una soluzione condivisa?
Se è così, possiamo attribuire questo alla indeterminatezza con cui è 'definita' la probabilità?
Devo riconoscere che questa conclusione mi disturba un po', vista la elementarietà del problema e anche il fatto che tale questione non l'ho mai trovata discussa in relazione al problema proposto (almeno in quei pochi libri che ho letto sull'argomento).
Mi farebbe piacere avere la vostra opinione su questo.
ciao a tutti
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