Figli e figlie di Bayes

[mircoFN1]

La famiglia Bayes ha due figli non gemelli. Entra nel salotto uno di essi ed è maschio, calcolare la probabilità che anche l'altro sia maschio
1) sapendo che è più giovane
2) non sapendo nulla sulla sua età

PS: ipotizzare che la probabilità di nascere maschio o femmina sia la stessa.

[fields1]

"mirco59":Mi sembra infatti che, al di là di preferire l'una o l'altra, non vi sia da parte di alcuno una vera e propria critica logica alla posizione diversa.

Eccola! Non è possibile che entrambe le argomentazioni siano accettabili, non possiamo permettere questo in matematica! Io difendo l'argomentazione di Kroldar e dico che quella di Cheguevilla contiene un errore logico.

E' chiaro che il ragionamento di Cheguevilla non è corretto. E' giusto dire che la probabilità che un particolare figlio sia maschio è sempre 1/2: ad esempio, la probabilità che il secondo sia maschio è sempre 1/2, indipendentemente dalle informazioni che abbiamo sul primo. Ma qui viene chiesto: qual è la probabilità che entrambi i figli siano maschi se uno dei due è maschio. Cioè l'evento (condizionato) da considerare è appunto: "entrambi i figli sono maschi".

L'errore sottile di Cheguevilla è dovuto a questo. Cheguevilla ha letto: "qual è la probabilità che l'altro figlio sia maschio, se uno dei due è maschio?". Quindi ha detto (parafrasando l'esempio delle monete): la probabilità che un particolare figlio sia maschio è sempre 1/2. Attenzione! Qui non si chiede di un particolare figlio, infatti l'espressione "l'altro figlio" non ne definisce uno particolare! Infatti, se entra nella stanza il minore, "l'altro figlio" è il maggiore, se entra il maggiore, "l'altro figlio" è il minore.

Spero che leggiate con attenzione quello che ho scritto, perché c'è un interessante analogia con "i calzini" di Bertrand Russell e l'assioma della scelta. Come sappiamo, di una coppia di scarpe si può definire univocamente ciascuna scarpa: scarpa sinistra e scarpa destra. Ma con i calzini non si può fare altrettanto! Non c'è un sinistro e un destro e di fatto sono indistinguibili. Quindi si può definire una funzione di scelta da un insieme infinito di coppie di scarpe, ma non da un insieme infinito di coppie di calzini.

Riportando il discorso ai figli, essi sono come calzini, se non li distinguiamo come figlio maggiore e figlio minore. Quindi, alla domanda: "qual è la prob. che l'altro figlio sia maschio?", succede come con i calzini: non si sta parlando di nessun figlio in particolare! Quindi non possiamo applicare il ragionamento: "la probabilità che un particolare figlio sia maschio è sempre 1/2".

Alla luce di quanto detto, per ragionare correttamente Cheguevilla avrebbe dovuto dire: "Mi si sta chiedendo qual è la probabilità che l'altro figlio sia maschio. Uhm... E chi sarebbe questo "altro"? So che se fosse il minore, dovrei dire 1/2. So che se fosse il maggiore, dovrei dire 1/2. Ma... io non posso fare ipotesi su che figlio è, altrimenti calcolo una probabilità condizionata! (Infatti dovrei dire ad esempio, SE il figlio che sappiamo essere maschio è il minore, ALLORA qual è la probabilità che l'altro figlio sia maschio). Come posso allora riferirmi a qualcuno se non so chi è? Uhm... Chiedere la probabilità che l'altro figlio sia maschio sapendo che uno è maschio equivale a chiedersi qual è la probabilità che entrambi siano maschi se uno dei due è maschio! Dunque, 1/3!"

[Thomas16]

io sono d'accordo con fields (credo).. in pratica il gioco è uguale (con le dovute corrispondenze) a quello 1a) e riportarlo ai giochi 2a) e 3a) indica una modificazione dell' informazione che abbiamo...

[Cheguevilla]

Ma quanti soggettivisti...

[Fioravante Patrone1]

il commento di cheguevilla mi induce a questa considerazione:
cosa costa fare una prova con un programmino generatore di numeri (pseudo)-casuali?

[fields1]

"Cheguevilla":Ma quanti soggettivisti...

Non direi proprio che è soggettivismo! Quella di kroldar è una risposta puramente frequentista, e infatti il programmino che Fioravante ha proposto dimostrerebbe sperimentalmente la correttezza della risposta.

Con il programmino si potrebbe simulare il seguente esperimento (gioco a premi). Mettiamo sullo schermo due porte, ciascuna con dietro un maschio o una femmina e ciascuno con probabilità 1/2. A questo punto il conduttore controlla se dietro le porte c'è almeno un maschio. Se non c'è, mette dietro le porte una nuova combinazione casuale. Se invece c'è un maschio, il conduttore apre a caso una porta con dietro un maschio. A questo punto il conduttore chiede al concorrente di scommettere se dietro la porta restante c'è un maschio o una femmina. Per kroldar, scomettendo sul maschio la probabilità di vincere è 1/3. Dunque: scommettiamo sulla femmina!

Non vi ricorda Monty-Hall?

Nota: naturalmente il programmino salterebbe automaticamente il caso in cui ci sono due femmine.

[Cheguevilla]

Finito ottobre, lo farò!

[cubalibre1]

Io credo che entrambe le risposte vadano bene, almeno da un punto di vista formale: una misura di probabilità è una funzione che sia una misura e tale che, inoltre, la probabilità dell'evento certo sia uguale ad uno. In questo caso si considerano due diversi spazi degli eventi, precisamente W=(f,m) e D=(mm,fm,mf,ff).
la soluzione di cheguevilla va bene perché p(m)=1/2, p(f)=1/2 e dunque p(m)+p(f)=p(W)=1. L'altra soluzione va altrattanto bene perché si ha p(mm)=1/3,
p(mf)=1/3, p(fm)=1/3, p(mm)=0 e dunque la somma delle probabibilità, cioè la probabilità dell'evento certo, è sempre uguale ad 1.

[Salamandra2]

E stato molto interessante osservare la vostra lotta e ora aggiungo altra carne al fuoco:secondo voi tutto cio non ha collegamenti con la meccanica quantistica? Supponiamo che al posto di un gatto Scrodinger avesse messo nella scatola un/a suo/a figlio/a; se voi non sapeste che quello fuori e il minore o il maggiore vorrebbe dire che quello/a nella scatola sarebbe contemporaneamente maschio e femmina? Ciao