Esperimento sulla caduta delle uova

[axpgn]

Supponiamo di voler conoscere da quali finestre di un palazzo di $36$ piani è possibile lasciar cadere un uovo senza che si rompa e da quali invece si spacca.

Preliminarmente facciamo alcune assunzioni:
- un uovo che sopravvive ad una caduta si può usare di nuovo.
- un uovo rotto si scarta
- l'effetto della caduta è lo stesso per tutte le uova
- se un uovo si rompe dopo una caduta, si romperebbe se lasciato cadere da una finestra più in alto
- se un uovo sopravvive ad una caduta, sopravvivrebbe anche cadendo da una finestra più in basso
- non è escluso che un uovo si rompa cadendo dalla finestra del primo piano così come non è escluso che sopravviva ad una caduta dall'ultimo piano.

Se un solo uovo è disponibile c'è un solo modo per ottenere il risultato corretto: si lascia cadere l'uovo dalla finestra del primo piano, se sopravvive si passa al secondo, se sopravvive si passa al terzo e così via finché si rompe.
Nel caso peggiore potrebbero volerci $36$ tentativi.

Supponiamo di avere due uova.
Qual è il minor numero di tentativi che garantiscano di ottenere il risultato corretto in tutti i casi?


Cordialmente, Alex

[Paolo k]

Essendo le due uova uguali se uno solo si rompe dopo 36 tentativi anche l'altro dovrebbe fare lo stesso e quindi ci vorrebbero 36 tentativi anche usando due uova alla volta.

[hydro1]

"Paolo k":Essendo le due uova uguali se uno solo si rompe dopo 36 tentativi anche l'altro dovrebbe fare lo stesso e quindi ci vorrebbero 36 tentativi anche usando due uova alla volta.

Ovviamente puoi buttare un uovo solo alla volta... altrimenti la domanda non avrebbe senso.

[gabriella127]

Con l'idea che ho avuto, il numero minimo di tentativi è $11$.
L'idea è quella di fare prima tentativi da piani intermezzati da intervalli, es. ogni due o tre piani, o più, e poi quando un uovo si rompe, controllare i piani dell'intervallo sottostante.

Poiché $36$ è divisibile per un sacco di roba, cominciamo dai divisori.

Cominciamo da $6$.
Quindi in prima battuta controllo i piani: $6$, $12$, $18$, $24$, $30$, $36$. Quindi $6$ piani, al massimo, da controllare.
Tra ogni due piani controllati ci sono $5$ piani intermedi.

Se l'uovo non si rompe mai abbiamo finito.
Se l'uovo si rompe da un piano, controlliamo, ovviamente con l'altro uovo non spiaccicato, i $5$ piani dell'intervallo sottostante, andando dal basso verso l'alto.
Quindi al massimo abbiamo $6$+$5=11$ piani controllati, questo nel caso l'uovo si rompe dal $36$ e ultimo piano.

Se si fa la prova con gli altri divisori si vede che i tentativi necessari sono maggiori di $11$.

Naturalmente non è necessario che siano divisori, ma controllando con numeri non divisori viene sempre$\geq 11$

(per la verità non li ho controllati tutti a uno a uno, mi scocciavo, , ma l'idea è questa, alla fine il controllo è meccanico, può pure saltare fuori un caso minore di $11$, non credo, ma è un fatto meccanico che non cambia il metodo.
E comunque, se c'è un intervallo maggiore di $11$ non può funzionare. Ho individuato anche una formula per calcolare il numero di tentativi, ma non è interessante, si vabbe', per spicciarsi a fare i conti).

Non è ovviamente necessario che gli intervalli tra i piani controllati siano regolari, ma l'intervallo regolare garantisce che il numero massimo di piani in un intervallo sia minimo.

[hydro1]

Sicuramente si può fare in al più $9$ tentativi. Si tira il primo uovo dal piano $9$. I tentativi successivi si faranno a $17,24,30$ e $35$. Se l'uovo si rompe ad esempio al piano $24$ abbiamo fatto $3$ tentativi e ci rimangono da controllare i piani da $18$ a $23$ con un solo uovo, quindi altri $6$ tentativi. In ogni caso, ne faremo al più $9$.

Ora ci chiediamo se si può fare di meglio. Sia $n_1$ il piano da cui si butta il primo uovo. Se si rompe e siamo sfortunati, rimaniamo con $1$ uovo ed un palazzo di $n_1-1$ piani, quindi ci tocca fare altri $n_1-1$ tentativi, $n_1$ in tutto. Ne consegue che, se si vuol fare meglio di $9$, dev'essere $n_1<9$. D'altra parte, se buttando il primo uovo dal piano $n_1$ riusciamo a fare meno di $9$ tentativi in ogni caso, allora sicuramente riusciamo a fare di meglio anche buttandolo dal piano $n_1+1$, purchè $n_1+1<9$ (infatti se non si rompe avremo un palazzo ancora più basso da controllare, se si rompe dovremo fare $n_1+1$ tentativi nel caso peggiore). Ne consegue che se esiste una strategia che batte $9$ tentativi, ne esiste anche una che batte $9$ tentativi e tale che il primo piano a cui si butta l'uovo sia l'$8$. In altre parole, possiamo assumere $n_1=8$. Siamo rimasti con un palazzo di $28$ piani, e dobbiamo fare meglio di $8$ tentativi. Ma adesso possiamo reiterare il ragionamento: il secondo uovo dobbiamo tirarlo al più dal piano $15$, che altrimenti se si rompe abbiamo già fatto $2$ tentativi e dobbiamo farne almeno altri $7$. D'altronde se riusciamo a battere $8$ tentativi tirando dal piano $n_2$ possiamo farlo anche tirando da $n_2+1$, a patto che $n_2+1\le 15$. Allora possiamo assumere che il secondo tentativo sia dal piano $15$. Proseguendo, dovremo tirare da $8,15,21,26,30,33$. Ma se l'uovo non si rompe al piano $33$ avremo fatto già $6$ tentativi e ce ne vorranno altri $3$ nel caso peggiore, $9$ in tutto. Quindi non si può fare meglio di $9$.

[gabriella127]

Hydro, così non controlli il piano 36, va controllato perché può darsi che l'uovo non si rompe mai, nemmeno dal $36$, così dice il testo. Se controllinil m$36$ viene $10$ tentativi, non $9$.

[hydro1]

"gabriella127":

Hydro, così non controlli il piano 36, va controllato perché può darsi che l'uovo non si rompe mai, nemmeno dal $36$, così dice il testo. Se controllinil m$36$ viene $10$ tentativi, non $9$.

Non capisco, se non si rompe nemmeno dal $36$ avrai tentato i piani $9,17,24,30,35,36$, sono $6$ tentativi...

[gabriella127]

"hydro":[quote="gabriella127"]

Hydro, così non controlli il piano 36, va controllato perché può darsi che l'uovo non si rompe mai, nemmeno dal $36$, così dice il testo. Se controllinil m$36$ viene $10$ tentativi, non $9$.

Non capisco, se non si rompe nemmeno dal $36$ avrai tentato i piani $9,17,24,30,35,36$, sono $6$ tentativi...

[/quote]

Volevo dire, se testi il piano 36 invece del 35 sono 10 tentativi, oppure devi testare il 36 a parte, e allora ok, ma lo devi testare, tutto qui. Perché il gioco chiede da quale piano si rompe, e può darsi mai.

[hydro1]

"gabriella127":[quote="hydro"][quote="gabriella127"]

Hydro, così non controlli il piano 36, va controllato perché può darsi che l'uovo non si rompe mai, nemmeno dal $36$, così dice il testo. Se controllinil m$36$ viene $10$ tentativi, non $9$.

Non capisco, se non si rompe nemmeno dal $36$ avrai tentato i piani $9,17,24,30,35,36$, sono $6$ tentativi...

[/quote]

Volevo dire, se testi il piano 36 invece del 35 sono 10 tentativi, oppure devi testare il 36 a parte, e allora ok, ma lo devi testare, tutto qui. Perché il gioco chiede da quale piano si rompe, e può darsi mai.

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Sìsì non l'ho scritto perchè mi sembrava ovvio, anche il piano 36 va controllato. In ogni caso non sono mai più di 9 tentativi. Tra l'altro è interessante notare che se i piani fossero 35 la strategia analoga che parte dal piano $8$ garantirebbe al più $8$ tentativi.

[gabriella127]

"hydro":[quote="gabriella127"]

Volevo dire, se testi il piano 36 invece del 35 sono 10 tentativi, oppure devi testare il 36 a parte, e allora ok, ma lo devi testare, tutto qui. Perché il gioco chiede da quale piano si rompe, e può darsi mai.

Sìsì non l'ho scritto perchè mi sembrava ovvio, anche il piano 36 va controllato. In ogni caso non sono mai più di 9 tentativi. Tra l'altro è interessante notare che se i piani fossero 35 la strategia analoga che parte dal piano $8$ garantirebbe al più $8$ tentativi.

[/quote]

Sì, certo, a ogni piano che si toglie si accorcia l'intervallo massimo da controllare, ma il succo è sempre lo stesso, fare in modo da isolare un intervallo corto da controllare, controllato il quale è risolto.
Non so se ci possano essere strategie alternative

[axpgn]

Si può fare meglio!

Però non sono riuscito a capire dove sta l'inghippo nella soluzione di hydro

Peraltro l'idea è quella, bravi!

[gabriella127]

Grazie mille!
Ma perché dici che c'èun un inghippo in quella di hydro?

Non dire qual è il metodo per fare di meglio eh? vade retro!
Vabbe', devo uscire, ci penso per strada, bonsoir!

Forse quando dice che dimostra he non si può andare sotto a $9$?

[axpgn]

Esatto.

[hydro1]

"axpgn":Si può fare meglio!

Però non sono riuscito a capire dove sta l'inghippo nella soluzione di hydro

Peraltro l'idea è quella, bravi!

Ma no la soluzione è giusta sono ciuccio io che ho contato male

Si può fare con 8 con i piani 8,15,21,26,30,33,35. Se l’uovo è integro dal piano 33 bastano 2 tentativi, non 3. Il ragionamento del post precedente mostra che non si può fare meglio di 8!

[axpgn]