Esercizi(etti)
Con opportuna giustificazione risolvere i quesiti seguenti :
1)Calcolare il minimo assoluto della funzione:
$f(x)=x^(12)+14x^9+57x^6+56x^3+21$
2)Determinare le soluzioni intere dell'equazione:
$2x^4+x^2y^2+5y^2=y^4+10x^2$
3)Dimostrare che un gruppo G di ordine 15 e' ciclico
I primi due sono per tutti,l'ultimo e' per ...Ubermensch ( che lo risolvera'
in un baleno!!).
Archimede
1)Calcolare il minimo assoluto della funzione:
$f(x)=x^(12)+14x^9+57x^6+56x^3+21$
2)Determinare le soluzioni intere dell'equazione:
$2x^4+x^2y^2+5y^2=y^4+10x^2$
3)Dimostrare che un gruppo G di ordine 15 e' ciclico
I primi due sono per tutti,l'ultimo e' per ...Ubermensch ( che lo risolvera'
in un baleno!!).
Archimede
Risposte
per il secondo le uniche soluzioni intere sono
(0;0)
(1;2)
(-1;2)
(1;-2)
(-1;-2)
(0;0)
(1;2)
(-1;2)
(1;-2)
(-1;-2)
Le soluzioni sono quelle.
Why?
Archimede
Why?
Archimede
basta risolvere l'equazione per x^2
viene
x^2 = (y^2)/2
da cui
x = + o - y/sqrt2 che e' intera solo se y = 0
ecco spiegata la soluzione (0;0)
l'altra soluzione per x^2 e'
x^2 = 5 -y^2
da cui
x^2 + y^2 = 5
e gli unici quadrati perfetti che danno 5 come somma sono 1 e 4 da cui le altre soluzioni
viene
x^2 = (y^2)/2
da cui
x = + o - y/sqrt2 che e' intera solo se y = 0
ecco spiegata la soluzione (0;0)
l'altra soluzione per x^2 e'
x^2 = 5 -y^2
da cui
x^2 + y^2 = 5
e gli unici quadrati perfetti che danno 5 come somma sono 1 e 4 da cui le altre soluzioni
hem.
ovviamente anche le simmetriche
(2;1)
(2;-1)
(-2;-1)
(-2;1)
ovviamente anche le simmetriche
(2;1)
(2;-1)
(-2;-1)
(-2;1)
Bene GiuseppeRoma e adesso sul primo esercizio.
Il terzo l'avrei lasciato per Uber ma se qualcuno ci vuol provare...
( si vada a rivedere un po' di algebra astratta!)
Archimede
Il terzo l'avrei lasciato per Uber ma se qualcuno ci vuol provare...
( si vada a rivedere un po' di algebra astratta!)
Archimede
1) io ho trovato come minimo assoluto 5,
vista l'ora preferisco non postare la mia soluzione , anche perchè è piuttosto calcolosa (in realtà per fare i calcoli ho utilizzato Maple).
vista l'ora preferisco non postare la mia soluzione , anche perchè è piuttosto calcolosa (in realtà per fare i calcoli ho utilizzato Maple).
Allora, ponendo $y=x^3$ si ottiene
$g(y)=y^(4)+14y^3+57y^2+56y+21$
la funzione derivata (che può essere scomposta ad esempio con Ruffini) si annulla in tre punti.
A questo punto sostituendo le ascisse dei punti estremanti ho trovato come valore di minimo assoluto 5, il quale coinciderà con quello della funzione di partenza.
salvo errori
$g(y)=y^(4)+14y^3+57y^2+56y+21$
la funzione derivata (che può essere scomposta ad esempio con Ruffini) si annulla in tre punti.
A questo punto sostituendo le ascisse dei punti estremanti ho trovato come valore di minimo assoluto 5, il quale coinciderà con quello della funzione di partenza.
salvo errori
Senza scomodare le derivate si può osservare che la funzione si può scrivere anche così:
$g(y)=(y^2+7y+4)^2+5$
Il suo minimo assoluto è perciò 5.
$g(y)=(y^2+7y+4)^2+5$
Il suo minimo assoluto è perciò 5.
Buone risposte entrambe.
Quella di Mamo andrebbe completata col dire che
il quadrato si annulla per qualche x altrimenti il
minimo assoluto non e' piu' 5 ma 5+min._assoluto_del_quadrato.
In effetti e': quadrato(-1)=-2,quadrato(1)=12 e dunque il quadrato
si annulla per qualche x in ]-1,1[
Archimede
Quella di Mamo andrebbe completata col dire che
il quadrato si annulla per qualche x altrimenti il
minimo assoluto non e' piu' 5 ma 5+min._assoluto_del_quadrato.
In effetti e': quadrato(-1)=-2,quadrato(1)=12 e dunque il quadrato
si annulla per qualche x in ]-1,1[
Archimede
ahah
è un fatto generale che gruppi di ordine $pq$, con $p
una dimostrazione diretta è che i 3-sylow e i 5-sylow sono unici e quindi normali e ad intersezione banale, per cui i loro elementi commutano. Per cui prendendo un generatore del 3-syl e uno del 5-syl il loro prodotto ha ordine il m.c.m. fra 3 e 5, che è 15... e quindi tale prodotto genera il nostro gruppo
è un fatto generale che gruppi di ordine $pq$, con $p
una dimostrazione diretta è che i 3-sylow e i 5-sylow sono unici e quindi normali e ad intersezione banale, per cui i loro elementi commutano. Per cui prendendo un generatore del 3-syl e uno del 5-syl il loro prodotto ha ordine il m.c.m. fra 3 e 5, che è 15... e quindi tale prodotto genera il nostro gruppo
Molto bello!
Quasi,quasi mi rimetto a studiare Teoria dei Gruppi:mi ricordo che
a suo tempo presi 28/30 su tale materia (testo di Antonio Machi')
che per l'epoca non era un voto disprezzabile.
Ma gli anni passano (purtroppo!) e temo di fare un buco nell'acqua.
Archimede
Quasi,quasi mi rimetto a studiare Teoria dei Gruppi:mi ricordo che
a suo tempo presi 28/30 su tale materia (testo di Antonio Machi')
che per l'epoca non era un voto disprezzabile.
Ma gli anni passano (purtroppo!) e temo di fare un buco nell'acqua.
Archimede
anch'io sto studiando sul testo di machi!!!!!!!!!
e perchè dovresti fare un buco nell'acqua?
e perchè dovresti fare un buco nell'acqua?
fra l'altro, magari ti interesserà saperlo, ma senza l'ipotesi che $p$ non divida $q-1$ salta tutto. Tranne il fatto banale in cui $p=2$ dove è possibile costruire i diedrali che non sono neanche abeliani, anche per $p\ne2$ è possibile costruire gruppi di ordine $pq$ con $p|q-1$ non abeliani. Ad esempio il Frobenius $F_{21}$ che si costruisce facendo il prodotto semidiretto fra il ciclici $C_3$ e $C_7$
Per un motivo semplice:
I miei 40 anni sono giusto il doppio dei tuoi 20.....
Che malinconia!
karl
I miei 40 anni sono giusto il doppio dei tuoi 20.....
Che malinconia!
karl
ma su... se le hai capite una volta, le capirai ancora...
magari potresti provare con qualcosa di più leggero
delle dispense di Machì...
insomma, non sono proprio facili facili...
altrimenti comincio a mettere centinaia di esercizi
semplici semplici (non quelli che sto mettendo ora che sono
decisamente troppo complicati...) e tu con la scusa di risolverli
piano piano ti riguardi tutto....
colgo subito l'occasione:
1) mostrare che un p-gruppo finito ha centro non banale
2) mostrare che intersezione finita di sottogruppi di indice finito ha indice finito
3) (più complicato) da 2) e con l'ausilio del concetto di normalizzante di un sottogruppo
mostrare il seguente teorema di Poincarè: se un gruppo ha un sottogruppo di indice finito
allora ha anche un sgr normale di indice finito.
magari potresti provare con qualcosa di più leggero
delle dispense di Machì...
insomma, non sono proprio facili facili...
altrimenti comincio a mettere centinaia di esercizi
semplici semplici (non quelli che sto mettendo ora che sono
decisamente troppo complicati...) e tu con la scusa di risolverli
piano piano ti riguardi tutto....
colgo subito l'occasione:
1) mostrare che un p-gruppo finito ha centro non banale
2) mostrare che intersezione finita di sottogruppi di indice finito ha indice finito
3) (più complicato) da 2) e con l'ausilio del concetto di normalizzante di un sottogruppo
mostrare il seguente teorema di Poincarè: se un gruppo ha un sottogruppo di indice finito
allora ha anche un sgr normale di indice finito.
Ho trovato un teorema che recita cosi':
Se un p-gruppo G ha un sottogruppo normale d'ordine finito,il
centro di G non si riduce al sottogruppo (banale) unita'.
Poiche' il centro di un p-gruppo finito e' normale
(e finito per lagrange) ,allora tale centro non e' banale.
Cosi' ho solamente spostato il problema ma per adesso ci contentiamo.
Mi metto a studiare per gli altri!!
Archimede
Se un p-gruppo G ha un sottogruppo normale d'ordine finito,il
centro di G non si riduce al sottogruppo (banale) unita'.
Poiche' il centro di un p-gruppo finito e' normale
(e finito per lagrange) ,allora tale centro non e' banale.
Cosi' ho solamente spostato il problema ma per adesso ci contentiamo.
Mi metto a studiare per gli altri!!
Archimede
"archimede":
karl
?
Eh eh... Dunque ti sei rivelato finalmente anche agli altri! 
Però ora ci sono parecchi nuovi utenti nel forum, non c'erano
loro quando c'era il nostro caro vecchio karl...
Però ora ci sono parecchi nuovi utenti nel forum, non c'erano
loro quando c'era il nostro caro vecchio karl...
quindi archie è quel karl di cui tanto parlaste tempo fa?:-D
Yes. E l'avevo capito da tempo, da varie cose,
anzitutto proprio dal modo di scrivere (per il
quale presi appunto spunto da lui, e lo sto
facendo ancora), poi dall'assenza dei caratteri
accentati nei suoi post etc. Grande Lorenzo!
Ora
che ne dici di fare il cambio di nick e rimetterti come karl?
anzitutto proprio dal modo di scrivere (per il
quale presi appunto spunto da lui, e lo sto
facendo ancora
), poi dall'assenza dei caratteriaccentati nei suoi post etc. Grande Lorenzo!
Orache ne dici di fare il cambio di nick e rimetterti come karl?
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