Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

[al_berto]

Buonasera.

Eguaglianza.
Un alunno scrive su un foglio la seguente eguaglianza :
XI+I=X
Quale è il modo più semplice per rendere corretta questa eguaglianza?

Rettangoli isoperimetrici.
Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, e la cui area sia un multiplo dell'area di questo.

Grazie.
aldo

[nino_12]

"Esperanto":
Nella risposta leggo: per avere due rettangoli con aree in rapporto 4 e stesso perimetro si devono scegliere lati di 60 e 3
e lati 48 e 15, che è diverso dal trovare una soluzione generale.

Ciao.

Io non ho detto questo.

Le mie formulette rispondono al problema:
"Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, la cui area sia un multiplo dell'area di questo"
con la limitazione che i lati dei due rettangoli (aventi entrambi lo stesso perimetro e con le aree una multipla dell'altro) devono essere espressi da numeri interi.

Con questa condizione (solo valori interi dei lati):
-posta uguale a $1$ la lunghezza di un lato del primo rettangolo, affinché esista un secondo rettangolo con il suo stesso perimetro e con l'area n (2,3,4,...) volte maggiore, l'altro lato (e quindi anche l'area) del primo deve valere $n*(n+1)$ e il perimetro di entrambi $n^2+n+1$.
Ne consegue che il secondo rettangolo con l'area $n$ volte maggiore avrà i lati lunghi $n+1$ e $n^2$

Ovviamente, questi due rettangoli mantengono la proprietà (stesso perimetro e rapporto $n$ delle aree) anche moltiplicando tutti i lati per uno stesso fattore K (1, 2, 3, 4, ....)

In conclusione:

Lati primo rettangolo (quello a area minore) $a=K$ ; $b=K*(n^2+n)$
Lati secondo rettangolo (quello con area $n$ volte maggiore) $A=K*(n+1)$ ; $B=K*n^2$

Diverso è il discorso generale, cioè se vengono dati i lati $a$ e $b$ qualsiasi del primo rettangolo e si devono trovare i lati di uno o più rettangoli (stesso $p=a+b$ e area multipla $n*a*b$ )

In tal caso, con la limitazione di n_massimo = intero(p^2/(4*a*b)) -----> quadrato
si possono avere n_massimo - 1 soluzioni (cioè rettangoli diversi con area multipla $n$ da 2 a n_massimo) e ciascuno di essi avrà queste lunghezze dei lati:

$A = (p + sqrt(p^2 - 4*n*a*b))/2 $

$B = (p - sqrt(p^2 - 4*n*a*b))/2 $

con n=2, 3, 4, ... fino ad n_massimo

[Esperanto]

Perfetto, visto che la domanda era:
Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, e la cui area sia un multiplo dell'area di questo.
la risposta che cercavo era quella generale, dato che non vedevo restrizioni. Leggendo il testo, però, non era richiesta la soluzione generale ma di trovare due rettangoli isoperimetrici fra loro, non di trovare un rettangolo isoperimetrico ad uno assegnato (sempre con superficie multipla intera - ma non è un limite)
Sulla soluzione generalizzata, i nostri due risultati coincidono esattamente; non so che processo hai seguito tu ma le equazioni dei lati che tu indichi sono esattamente le due soluzioni dell'equazione che ho scritto anche io.
La tua formula per il calcolo del numero di possibili multipli interi coincide con la mia (rapporto fra le aree).
Quindi, se prima ero in dubbio, ora penso proprio di avere individuato anche io la soluzione corretta.
Bello Vado a cercare altri problemi stimolanti.
Ciao.

[fhabbio]

Sono stato distante dal forum per un po' per motivi di studio ma il mio pensiero era fisso qui ai rettangoli isoperimetrici

Dunque, al mio ultimo post, mi chiedevi se ci fosse una formula valida per tutti i rapporti tra le aree.
La risposta è sì, ma bisogna sempre prestare attenzione al perimetro e l'area del rettangolo iniziale.

Mi spiego meglio a suon di calcoli

Supponiamo il primo rettangolo di perimetro $P$ e area $A_1$
e detti i lati $x$ e $y$ avremo che
$y(x)=P/2-x$
e che
$A(x)=P/2x-x^2$

La parabola nel grafico rappresenta l'andamento qualitativo dell'area in funzione del lato
Si badi che gli zeri coincidono banalmente con $0$ e $P/2$ e il massimo si ha in $P/4$ in cui l'area vale $P^2/16$ (come già detto, ciò implica che l'area massima è quella di un quadrato isoperimetrico al rettangolo dato)
Possiamo notare inoltre che via via che si aumenta il valore del perimetro questa parabola cresce in "altezza" e "girovita".
[asvg]axes();
xmin=0; xmax=4; // intervallo seconda funzione
plot("-x^2+4x");
stroke="red";
xmin=0; xmax=3;
plot("-x^2+3x");
stroke="green";
xmin=0; xmax=2;
plot("-x^2+2x");[/asvg]

Ora, la limitazione che avevo provato a spiegare l'altra volta riguardo la scelta dell'area tento di rispiegarla alla luce di questo grafico innanzitutto con un esempio pratico poi per vie del tutto generali.

Partiamo col caso in cui volessimo ottenere un secondo rettangolo isoperimetrico a quello dato ma con area pari a $2*A_1$

dobbiamo guardare il ramo crescente della parabola, tra tutti i rettangoli isoperimetrici non possiamo di certo scegliere quelli che hanno un'area che sta al di sopra della retta blu in figura sottostante
Questo perchè se provassimo a cercare il corrispettivo con l'area doppia, va da sè, che non esiste.
[asvg]axes();
xmin=0; xmax=4; // intervallo seconda funzione
plot("-x^2+4x");
stroke="blue";
line([-12, 2], [12, 2]);[/asvg]

è necessario perciò che l'area $A_1$ del rettangolo iniziale appartenga all'intervallo $(0;P^2/32] $ (ovvero la metà dell'area massima ottenibile!)

Nel caso generale invece si ha che se volessimo un'area pari a $n*A_1$ con $n=1,2,3...$ sarà necessario dividere il ramo ascendente della parabola in $n$ parti e di conseguenza l'area $A_1$ del rettangolo iniziale deve appartenere all'intervallo $(0;P/(n*16)]$


(caso $n=5$)
[asvg]axes();
xmin=0; xmax=4; // intervallo seconda funzione
plot("-x^2+4x");
stroke="blue";
line([-12, 0.8], [12, 0.8]);
line([-12, 1.6], [12, 1.6]);
line([-12, 2.4], [12, 2.4]);
line([-12, 3.2], [12, 3.2]);[/asvg]

Il problema ora è trovare il coefficiente $alpha$ per il quale moltiplicare il lato $x_1$ del primo rettangolo per ottenere il corrispettivo lato del secondo rettangolo isoperimetrico

chiamo $x_1$ il lato del primo rettangolo e $x_2$ il lato del secondo

Fissati $P$ ed $A_1$ cerchiamo $x_1$ da

$A_1=P/2*x-x^2$

dopo alcuni passaggi algebrici si trova

$x=P/4+-1/4*sqrt(P^2-16*A_1)$

per comodità scegliamo quello col segno + ma andava bene anche col segno opposto.

$x_1=P/4+1/4*sqrt(P^2-16*A_1)$

analogamente si fa per il secondo rettangolo di area $n*A_1$

$x_2=P/4+1/4*sqrt(P^2-16n*A_1)$

se chiamiamo $alpha$ un numero tale che
$x_2=alfa*x_1$

agevolmente si ricava

$alpha=x_2/x_1$

$->alpha=(P/4+1/4*sqrt(P^2-16n*A_1))/(P/4+1/4*sqrt(P^2-16*A_1))$

Si badi che $alpha$ non dipende dal lato, ma solo da $P$,$A_1$ ed $n$
Il secondo lato si determina $y_2=P/2-x_2$ e il gioco è fatto.

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I N %%% C O N C L U S I O N E %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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Tirando le somme
Sia noto $P$ e stabilito un $n$ intero positivo, si scelga un'area $A_1$ opportuna (vd. sopra)

Si calcoli $alpha$

e computato $x_1$

$x_1=P/4+1/4*sqrt(P^2-16*A_1$

possiamo ricavarci

$x_2=alpha*x_1$

ed $y_2=P/2-x_2$

qui di seguito un'immagine tratta da un foglio di calcolo strutturato per verificare la veridicità di quanto ho scritto sopra
in blu i dati, in giallo quello che viene calcolato, verde e rosso sono di verifica.