Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

[al_berto]

Buonasera.

Eguaglianza.
Un alunno scrive su un foglio la seguente eguaglianza :
XI+I=X
Quale è il modo più semplice per rendere corretta questa eguaglianza?

Rettangoli isoperimetrici.
Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, e la cui area sia un multiplo dell'area di questo.

Grazie.
aldo

[fhabbio]

Eguaglianza
XI-I=X

Per quanto riguarda invece i rettangoli isoperimetrici, ho pensato di considerare tutti i rettangoli di perimetro $P$, considerare un lato in funzione dell'altro (tenendo fisso il perimetro) e poi di trovare la funzione area in funzione del lato variabile.

Più facile a farsi che a dirsi ecco qui.

Siano $a$ e $b$ i lati di un rettangolo di perimetro $P$

$P=2a+2b$

allora $b$ in funzione di $a$ è banalmente

$b=(P-2a)/2$ [1]

dunque l'area $A=a*b$ diventa

$A=1/2a*(P-2a)$ [2]

con $a$ che varia tra $0$ e $P/2$ (estremi esclusi)
questa è la parabola rappresentativa della variazione dell'area in funzione di $a$ di tutti i rettangoli isoperimetrici

possiamo agevolmente calcolarci il massimo di questa parabola (esso vale $A_(max)=1/16 P^2$ per $a=1/4P$ da cui ne consegue $b=1/4P$...insomma un quadrato)

ora, visto che sappiamo che la nostra funzione area assume tutti i valori tra $0$ e $1/16 P^2$ possiamo dunque prendere a nostro piacimento un area $A_1$ in questo range, sostituirla nella [2] e trovare la rispettiva $a$
poi facciamo lo stesso ponendo in questo caso l'area uguale ad n-volte $A_1$ dove n è un numero intero positivo.
L'unica accortezza che bisogna però avere è la seguente:
è necessario infatti che $A_1$ sia sufficientemente piccolo tale che moltiplicandolo per n (intero positivo) non si ottenga un valore superiore a $A_(max)=1/16 P^2$, altrimenti non avremmo soluzioni reali.

Personalmente l'ho fatto per un area pari proprio alla metà dell'area massima e funziona...
ma se funziona per uno, la matematica ci insegna che non è detto che valga per tutti eheh xD
spero comunque che sia corretto...

[orsoulx]

L'uguaglianza è corretta,

è l'insegnante che la guarda dalla parte sbagliata.

Per la seconda occorrerebbe sapere a quale insieme numerico devono appartenere le misure dei lati.
Ciao

[Brancaleone1]

Rettangoli isoperimetrici

Ipotizzando che l'area del secondo rettangolo sia il doppio del primo, una possibile soluzione è che il primo misuri $12 times 2$ e l'altro $6 times 8$.

[nino_12]

"al_berto":
Rettangoli isoperimetrici.
Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, e la cui area sia un multiplo dell'area di questo.

Grazie.
aldo

Possibili soluzioni dei lati (multipli dell'area 2 - 3 - 6 - 8)
3 e 4 | 6 e 1
9 e 4 | 12 e 1
9 e 16 | 24 e 1
9 e 64 | 72 e 1

[Brancaleone1]

Se può interessare (e se ho eseguito correttamente) con questo codice si trovano le corrispondenze per basi e altezze $in NN$ inferiori a 100 - codice in Visual Basic, eseguibile su Excel. I risultati già usciti però possono ricomparire perché si invertono basi e altezze - non ho voglia di affinarlo

Option Explicit

Sub Macro1()
Dim B1, H1, P1, B2, H2, P2, A1, A2

H1 = 1

Ritorna:
B1 = 1
B2 = 1


For B1 = B1 To 100
    P1 = 2 * (B1 + H1)
    A1 = B1 * H1
    
    H2 = 1
Ritorna2:
    For B2 = B2 To 100
        P2 = 2 * (B2 + H2)
        A2 = B2 * H2
        
        If P2 = P1 Then
            If (A1 Mod A2 = 0 Or A2 Mod A1 = 0) And A1 <> A2 Then
                MsgBox ("Ho trovato una possibile combinazione!" & vbCrLf & "B1 = " & B1 & vbCrLf & "B2 = " & B2 & vbCrLf & "H1 = " & H1 & vbCrLf & "H2 = " & H2 & vbCrLf & "P1 = " & P1 & vbCrLf & "P2 = " & P2 & vbCrLf & "A1 = " & A1 & vbCrLf & "A2 = " & A2)
            End If
        End If
    Next B2
        
    H2 = H2 + 1
    If H2 <= 100 Then GoTo Ritorna2:
    B2 = 1
Next B1

H1 = H1 + 1
If H1 <= 100 Then GoTo Ritorna
End Sub

[al_berto]

Buongiorno.
@fhabbio
Eguaglianza:
la tua risposta è corretta, ma occorre cancellare il $+$ e scrivere il $-$. C'è un modo più semplice.
Rett. isop.:
Esiste una formula che funzioni per tutti i rapporti tra le aree?
@orsoulx
Eguaglianza:
secondo te il modo più semplice è quello di chiamare un insegnante?
@Brancaleone:
OK va bene, ma che metodo hai usato? Se il rapporto fosse $n$?
@nino
OK va tutto bene, ma un lato deve essere per forza 1?
Esiste una formula che funziona per tutti i rapporti tra le aree?

Grazie a tutti per le Vs risposte.
aldo

[nino_12]

Per l'uguaglianza, basta leggere dopo aver capovolto il foglio

"al_berto":metodo hai usato? Se il rapporto fosse $n$?
@nino
OK va tutto bene, ma un lato deve essere per forza 1?

aldo

Certo che no.
Trovati i primi 4 termini, si possono moltiplicare tutti per n
a=3; b=4; A=6; B=1 ----> n=2
a, b ----> a+b-1, 1
2a, 2b ----> 2a+2b-2, 2
3a, 3b ----> 3a+3b-3, 3
ecc...

Per la formula generale, non l'ho trovata, magari ci penso più tardi

[orsoulx]

"al_berto":Un alunno scrive...

Di solito dove c'è un alunno ci sta pure l'insegnante

Ciao

[nino_12]

"nino_":
Per la formula generale, non l'ho trovata, magari ci penso più tardi

Se chiamo $n$ il rapporto intero fra le due aree ( $n>=2$ ) i primi 4 termini validi (lato minore ; lato maggiore del rettangolo ad area multipla //// lato maggiore ; 1 dell'altro rettangolo) possono essere:

$ n+1 ; n^2 //// n*(n+1) ; 1 $

Per gli altri basta moltiplicare tutti i termini per i numeri naturali.

Facendo la somma (semiperimetro):
$n + 1 + n^2 = n^2 + n + 1 $

Facendo il rapporto dei prodotti (aree):
$ (n^2*(n+1))/(n*(n+1)) = n $

Es. $n=5$
$ 6 ; 25 //// 30 ; 1 $

$n=11$
$ 12 ; 121 //// 132 ; 1 $

ecc...

Non so (anche se presumo) se siano gli unici casi possibili

[al_berto]

Buona sera.
Eccone alcuni per vedere se combinano con le vostre formule:

Lato1= 6 lato2= 1
Lato1= 4 lato2= 3 rapporto 2

Lato1= 24 lato2= 2
Lato1= 18 lato2= 8 rapporto 3

Lato1= 60 lato2= 3
Lato1= 48 lato2= 15 rapporto 4

Lato1= 120 lato2= 4
Lato1= 100 lato2= 24 rapporto 5

Lato1= 210 lato2= 5
Lato1= 180 lato2= 35 rapporto 6

Lato1= 336 lato2= 6
Lato1= 294 lato2= 48 rapporto 7

Lato1= 504 lato2= 7
Lato1= 448 lato2= 63 rapporto 8

Lato1= 720 lato2= 8
Lato1= 648 lato2= 80 rapporto 9

Lato1= 990 lato2= 9
Lato1= 900 lato2= 99 rapporto 10

Ciao a tutti
aldo

[nino_12]

"al_berto":
Eccone alcuni per vedere se combinano
aldo

Ripeto la formula.

Lati del primo rettangolo (quello con area n volte maggiore):

$ K*(n+1) $ e $ K*n^2 $

Lati del secondo rettangolo:

$ K*(n^2 + n) $ e $ K $

Applicandola per K = 1, 2, 3, .... e n = 2, 3, 4, ... si trovano TUTTI i casi possibili

[Brancaleone1]

"al_berto":
@Brancaleone:
OK va bene, ma che metodo hai usato? Se il rapporto fosse $n$?

Confesso di essere andato per tentativi - anche perché dalla richiesta avevo capito che l'obiettivo fosse trovare una qualunque soluzione, non una formula generale.

[al_berto]

Buongiorno.
@Brancaleone
Sì in effetti era sufficiente trovare due rettangoli.
Però poi mi sono accorto che avrei fatto meglio a scrivere: Che procedimento bisogna seguire per trovare......

@nino
Sì le tue formule funzionano, però non ho capito: se il rapporto è per esempio $99$ quali sono le misure dei lati?

Ciao a tutti
aldo

[nino_12]

"al_berto":
@nino
Sì le tue formule funzionano, però non ho capito: se il rapporto è per esempio $99$ quali sono le misure dei lati?

Ciao a tutti
aldo

$???$
Basta inserire $n=99$

Esempio poniamo $K=1$

$ 1*(99+1) = 100 $ ; $ 1*99^2 = 9801 $

$ 1*(99^2+99) = 9900 $ ; $ 1 $

Se vuoi trovare gli altri casi con $ n=99 $ , basta moltiplicare i precedenti valori dei lati per $ K = 2 , 3, 4, .. $

[Esperanto]

Semplicemente guardare il foglio al contrario, come se l'insegnante guardasse sul banco stando in piedi di fronte allo studente
X = I + IX ovvero 10 = 1 + 9

[Esperanto]

La risposta si ottiene dalla soluzione del sistema dato dall'equazione dell'ellisse (a+c)^2+(b-c)^2 = (a+b)dove a e b sono i lati e "c" è la semidifferenza. L'ellisse è l'insieme dei punti per cui la somma delle distanze da due punti detti fuochi è costante =>> Perimetro costante
"C" è la coordinata del fuoco e vale la differenza tra "a" e "b" diviso due. Da qui vediamo già che il limite di "c" è tra 0 e a+b (del rettangolo iniziale)
e l'iperbole (a+c)*(b-c) = k ab
dove imponiamo K come parametro e risolviamo per "c".
L'espressione generale è quindi data dal sistema stesso con i limiti per "c" indicati sopra e per i K che offrono soluzioni reali.
Calcolato "c" possiamo ricalcolare i lati.
Ovviamente l'ellisse varia tra il cerchio del rettangolo degenerato in quadrato (C = 0) e la riga del rettangolo degenerato in
due lati = semiperimetro e due lati = 0.
Dati "a" e "b", imponiamo K e calcoliamo "c", se esiste, che risolve il sistema e otteniamo i retangoli isoperimetrici al rettangolo dato.
Non sviluppo perchè sarebbe lungo e tedioso.

[al_berto]

Buongiorno.

Eguaglianza.
La risposta ufficiale è : girare il foglio.

Rettangoli isoperimetrici.
OK bravi tutti
Volevo un pò provocare per vedere se uscivano fuori queste formulette:

Posto che $n$ sia il rapporto delle due aree,
per uno dei rettangoli i lati saranno: $(n^3-n)$ e $(n-1)$
e per l'altro $(n^3-n^2)$ e $(n^2-1)$]

Ma penso siano meglio quelle di nino. Puoi scegliere un lato.
ciao a tutti
aldo

[Esperanto]

Scusate ma mi pare che la soluzione offerta non sia la risposta che io mi aspettavo stessimo cercando.
Io cercavo una risposta del tipo: dato un rettangolo di lati A e B trovare i lati di un rettangolo isoperimetrico con area K volte maggiore.

Nella risposta leggo: per avere due rettangoli con aree in rapporto 4 e stesso perimetro si devono scegliere lati di 60 e 3
e lati 48 e 15, che è diverso dal trovare una soluzione generale.
Avevo interpretato male la domanda ma rilancio la "sfida" a trovare una risposta che parta da lati assegnati e calcoli quelli corrispondenti che danno area multipla (o sottomultipla) intera.
Ciao.

[Esperanto]

Ho trovato una risposta abbastanza facile alla "mia" domanda. Ve la presento qui.
Dati i due lati, calcolo il semiperimetro P.
Un lato vale A e l'altro vale P-A.
Se metto sugli assi di un diagramma ortogonale i lati, ho una retta a 45 gradi che va da x=P, y=0 a x=0, y=P.
Poi disegno l'iperbole che vale A x (P - A).
Questa iperbole deve intersecare la retta. Provate con A = 60, B = 3 --> P = 63.
Per vedere se esiste una coppia di lati che danno area multipla, dobbiamo vedere se esiste una iperbole di valore multiplo intero che interseca la nostra retta. Calcoliamo (A + B)/2 e calcoliamo l'area del quadrato.
Dividiamo questo valore per il valore dell'area del rettangolo iniziale e calcoliamo se e quante volte l'area può essere multipla.

Es: nel post precedente ho detto che con i lati 60 e 3 e 48 e 15 si ha un rapporto aree di 4.
Verifichiamo: 60 x 3 = 180 area attuale
Calcoliamo l'area massima per i punti sulla retta (isoperimetro) (60 + 3 )/2 --> 31.5 ---> area 992.25
992.25 / 180 = 5.125 Quindi potremo trovare 5 coppie di lati che danno aree pari a 2,3,4 e 5 volte quella iniziale.
Spero di essere stato chiaro e soprattutto semplice. Più semplice che il sistema di due equazioni di secondo grado proposto prima.

Vediamo con K = 2 ovvero Area = 2 x 60 x 3 = 360
dovremo risolvere l'equazione A x (P-A) = 360 con P = A + B = 63. A^2 - A x P + 360 = 0 --> A = 56,64458192
e B = 6,355418079 che, fatte salve le tolleranze del calcolo porta a P = 63. Funziona
Adesso provate con 720 ovvero K = 4 e trovate 48 e 15.

Ciao a tutti.
Non sono un matematico ma sono felice di avere scoperto questo sito. Mi risveglia la mente; alla soglia dei 65 anni non fa male

[al_berto]

Buongiorno.

@Esperanto.
OK, è giusta anche la tua lettura.

Però se volete intervenire proporrei di assegnare i valori alla stesse lettere.
Provvederò già io a correggere $r$ per rapporto, orribile! $r$ è raggio.
Chiamerei:
K = lati
n= rapporto
2p = perimetro
A=area
ciao.
aldo