Due rette sghembe
Date due rette sghembe r e s, dire come dobbiamo disporre due segmenti di lunghezza data, uno sulla retta r e uno sulla retta s, in modo da rendere minimo il volume del tetraedro avente per vertici gli estremi dei segmenti.
Risposte
Possiamo disporre i due segmenti in qualunque modo in quanto il volume del tetraedro rimane costante.
Ottimo, hai proprio centrato il problema!!
Ecco una possibile dimostrazione (non mia):
siano AB su s e CD su r i due segmenti. Consideriamo il piano alfa individuato da ADC. Sia H la distanza di B dal piano alfa; sia h la distanza di A dalla retta r. Il volume del tetraedro sarà
V = 1/3*(CD*h)/2 * H.
Notiamo che h e H non variano se facciamo scorrere CD sulla retta r, quindi il volume è indipendente dalla posizione del segmento CD sulla retta r. Analogamente se facciamo scorrere AB tenendo fisso CD si verifica che il volume rimane invariato.
Ecco una possibile dimostrazione (non mia):
siano AB su s e CD su r i due segmenti. Consideriamo il piano alfa individuato da ADC. Sia H la distanza di B dal piano alfa; sia h la distanza di A dalla retta r. Il volume del tetraedro sarà
V = 1/3*(CD*h)/2 * H.
Notiamo che h e H non variano se facciamo scorrere CD sulla retta r, quindi il volume è indipendente dalla posizione del segmento CD sulla retta r. Analogamente se facciamo scorrere AB tenendo fisso CD si verifica che il volume rimane invariato.
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