Due numeri su due fogli

[zimmerusky]

Vorrei riproporre un problema di un utente che è andato perduto (il problema, non l'utente )

Alberto e Barbara giocano al seguente gioco: Alberto scrive su due fogli due numeri reali distinti (cioè uno per foglio). Barbara ne legge uno e, ovviamente senza vedere l'altro, deve stabilire se il numero che ha appena letto è il maggiore o il minore tra i due scritti da Alberto.

Qual è la probabilità di vittoria di Barbara?

Era anche stato risolto, ma non ricordo in che modo

[axpgn]

Era di 3m0o

Il quesito era leggermente diverso (ci sono anche varianti in merito, vero 3m0o? )

La richiesta fondamentale era: è possibile per Barbara adottare una strategia che le permetta di avere una probabilità di vincere maggiore del $50%$?


Cordialmente, Alex

[zimmerusky]

Ok, se ci sono varianti aspettiamo l'autore che ci illumini, perché non le ricordo

[gabriella127]

Il quesito posto da 3m0o era un po' diverso, lo ricordo perché ho proposto una soluzione, che 3m0o ha accettato.

Barbara proponeva a Alberto un ragionamento, espresso da una formula di probabilità, che mostrava come la sua probabilità di vincere era del 50%.
La domanda era se il ragionamento di Barbara fosse giusto, e quindi il gioco è equo, entrambi i giocatori hanno la stessa probabilità di vincere, o fosse ingannevole e Barbara stava imbrogliando Alberto.

Per la formulazione precisa bisogna chiedere a 3mo0, perché non ricordo le formule del testo.

Purtroppo un altro thread, patrimonio dell'umanità , andato perso nel disguido sul Forum.

[zimmerusky]

Infatti, troppi thread persi , ma piano piano ci rifaremo

[gabriella127]

E' andato perso pure tutto quel malloppone su 'Secret Santa' peccato. Un altro thread, Zimmerusky, se non lo avessi visto, piuttosto lungo e elaborato ('malloppone')

[zimmerusky]

L'avevo letto, ma era un'altra di quelle discussioni che, causa lavoro, non ero riuscito a leggere completamente.
Dai sono giustificato però, mi sembra che con "Secret Santa" si era arrivati a 7 pagine

[andomito]

Ci provo...

Barbara dice: ammettiamo che io dica sempre che il secondo numero è più alto. Le mie probabilità di indovinare sono evidentemente al 50% perché dipende dal caso quale numero scelgo per primo.
Ammettiamo invece che io dica sempre che il secondo numero è più basso. Anche in questo caso le mie probabilità di indovinare sono evidentemente al 50%.
Quindi il gioco è di semplice fortuna.

Ma Alberto ha un dubbio: estratto il primo numero X, i casi possibili in cui il secondo è minore sono meno di quelli in cui il secondo è maggiore . Dunque Barbara sta provando a gabbarlo? Dirà sempre che il secondo numero è maggiore?

In realtà il dubbio di Alberto è infondato. Entrambi gli insiemi sono costituiti da infiniti elementi (un intervallo aperto di numeri reali).

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Diverso sarebbe il caso se la scelta fosse tra numeri interi positivi
Mettiamo ad esempio il caso che Barbara estragga "1" come primo numero. Avrebbe il 100% di probabilità di indovinare dicendo "maggiore".
Il vantaggio di dire "maggiore", però, collassa rapidamente al 50% all'aumentare del valore del primo estratto
In altre parole, le probabilità sono di fatto eque se Alberto non è così tonto da scegliere numeri (interi) molto bassi.

[axpgn]

Ti parrà strano ma esiste una procedura che permette di avere una probabilità maggiore del $50%$.
Per la verità, si riferisce ad una versione con numeri interi (non solo interi positivi) ma, a mio parere, si può adattare anche ai numeri reali.

Cordialmente, Alex

[andomito]

se in numeri sono interi (o reali) la tentazione e' dire che il secondo numero e' minore del primo, se questo e' positivo, e' maggiore se questo e' negativo. Insomma si sceglierebbe l'insieme contenente lo zero. Ma comunque il confronto sarebbe su insiemi con stesso ordine di infinito, quindi matematicamente non mi pare di poter giustificare tale scelta.
Operativamente, invece, sapendo che statisticamente il numero intero scelto piu' di frequente dalle persone e' il 7 (ci sono esperimenti in proposito) se adottassi tale tecnica sceglierei l'insieme che contiene tale numero.

[Studente Anonimo]

Mi era sfuggito completamente.
Vado a memoria, perché non me lo sono scritto da nessuna parte.
Nella versione proposta da me i numeri erano scelti differenti nell'intervallo \( [0,100] \). Vi sono altre versioni dove il numero può essere scelto su \( \mathbb{R} \) e il ragionamento è sostanzialmente lo stesso.
Diciamo che Alberto scriva i numeri \(n\), \(m\). E supponiamo che \( n < m \).
Barbara dice una cosa come:
Vedi io ho \(1/2\) di scegliere \( m \) e \( 1/2\) di scegliere \( n \). Inoltre posso dire che il numero che vedo è più grande o più piccolo. Indipendentemente dalla strategia che utilizzo ho \(1/2\) di vincita infatti se dicessi che il numero che ho guardato è il più grande allora ottengo
\[ P(\text{Barbara vince}) = P(\text{scelgo } n) \cdot P(\text{dico che quello osservato è il più grande}) + P(\text{scelgo } m) \cdot P(\text{dico che quello osservato è il più grande}) = \frac{1}{2} \]
scegliendo invece la strategia di dire che è l'altro numero (quello non osservato) quello più grande allora
\[ P(\text{Barbara vince}) = P(\text{scelgo } n) \cdot P(\text{dico che l'altro è il più grande}) + P(\text{scelgo } m) \cdot P(\text{dico che l'altro è il più grande}) = \frac{1}{2} \]

in entrambi i casi ho una probabilità di \( 1/2 \) di vittoria
@axpgn [ot]oppure del \( 50 \% \) [/ot]

Soluzione

Il ragionamento di Barbara è ingannevole poiché non è la sua miglior strategia. Nel senso che possiede una strategia ottimale. Ed è quella di scegliere con una probabilità uniforme in \( [0,100] \) un numero che chiameremo \(b\). La strategia migliore per Barbara è quella di osservare un numero su un bigliettino e a dipendenza del risultato scegliere la strategia 1 oppure 2 nel seguente modo.
Osserva \(a\) il numero su un bigliettino, paragona il numero osservato \(a\) con \( b \).
Se \( a < b \) allora dice che il più grande è l'altro.
Se \( b < a \) allora dice che il più grande è \( a \).
In questo modo guadagna in probabilità un \( \frac{m-n}{200} \). Questo perché abbiamo una probabilità del \( \frac{100-m}{100} \) che \( n< m < b \), una probabilità di \( \frac{n}{100} \) che \( b < n < m \) e una probabilità di \( \frac{m-n}{100} \) che \( n < b < m \). Dove come prima \(n Possiamo ottenere uno dei seguenti casi
- \( n - \( n < b < m \), in tal caso la probabilità di vittoria è \( 1 \) indipendentemente dal fatto che \( a= n \) o che \( a= m \).
- \( n < m < b \) come nel primo caso la probabilità è \( 1/2\). Da cui segue che
\[ P( \text{Barbara vince} ) = \frac{100-m}{100} \cdot \frac{1}{2} + \frac{m-n}{100} \cdot 1 + \frac{n}{100} \cdot \frac{1}{2} = \frac{100-m+n+2(m-n)}{200} \]
\[=\frac{1}{2} + \frac{m-n}{200} \]

Chiaramente Alberto per "minimizzare" (non è possibile minimizzare davvero) il guadagno di probabilità di Barbara dovrebbe scegliere \(m\) ed \(n \) molto molto vicini. Ma Barbara avrà sempre probabilità strettamente maggiore di \( 1/2\) di vincere.

[gabriella127]

E' quello che avevo scritto io come soluzione ... prima che venissero cancellati i messaggi...

[Studente Anonimo]

Penso di sì.

[gabriella127]

@ 3m0o Sì me lo ricordo benissimo, mi ricordo che ne avevamo parlato e tu eri poi d'accordo.

[Studente Anonimo]

"gabriella127":E' andato perso pure tutto quel malloppone su 'Secret Santa' peccato. Un altro thread, Zimmerusky, se non lo avessi visto, piuttosto lungo e elaborato ('malloppone')

Madò quel thread... peccato che sia andato perduto!!

"gabriella127":@ 3m0o Sì me lo ricordo benissimo, mi ricordo che ne avevamo parlato e tu eri poi d'accordo.

Allora mi hai convinto così bene che l'ho "fatta mia"

[gabriella127]

Guarda un vero peccato, però quelli di Skuola.net avevano dato la disponibilità a recuperare i messaggi perduti, per quelli possibili. Poiché questo di Secret Santa era veramente un malloppone, è un peccato, si potrebbe provare a chiederglielo, se ce la fanno a recuperare. Anche se è passato un po' di tempo. Vogliamo scrivere all'assistenza?

Io sono rimasta con la curiosità di sapere quale era la soluzione vera, c'erano due soluzioni numeriche vicine, ma diverse. Tu ce la hai da qualche parte la soluzione?

[axpgn]

La procedura a cui mi riferisco non si appoggia alla psicologia (che nella realtà, come giustamente dici, ha un suo perché ), è puramente matematica.

[gabriella127]

Che intendi dire, Alex, non capisco. Che c'entra la psicologia? Parli con me o con 3m0o?

[axpgn]

Volevo solo dire che nella procedura a cui mi riferisco non entrano fattori "esterni" alla Matematica come potrebbero quelli psicologici o statistici o che so io, cioè non si basa sul comportamento delle persone.
Spero di essermi spiegato

Cordialmente, Alex

[axpgn]

"gabriella127":Io sono rimasta con la curiosità di sapere quale era la soluzione vera, c'erano due soluzioni numeriche vicine, ma diverse. Tu ce la hai da qualche parte la soluzione?

Mi sono accorto solo ora di essermi perso un sacco di messaggi
Prima li rileggo con calma e poi scrivo ...

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

"axpgn":Volevo solo dire che nella procedura a cui mi riferisco non entrano fattori "esterni" alla Matematica come potrebbero quelli psicologici o statistici o che so io, cioè non si basa sul comportamento delle persone.
Spero di essermi spiegato

Cordialmente, Alex

Si, ma dove li vedi? La soluzione messa da 3m0o è un semplice ragionamento di probabilità. Forse ti riferisci a qualche altro discorso.