Divisibilita'

[Sk_Anonymous]

Ecco un problemino che i conoscitori di T.d.N. risolveranno in un momento
(... mentre gli altri si coprano il capo di cenere!)
Siano n e p due interi positivi con n qualunque
e p non divisibile per 3.
Dimostrare che il numero $N=p^(12n)+p^(6n)-2$ e' divisibile per 18
Archimede

[Bruno13]

L'espressione indicata, rispetto alle variabili precisate, corrisponde
senz'altro a un numero pari (le potenze di p possono essere
entrambe pari o entrambe dispari, quindi la loro somma è pari
e rimane pari togliendo 2).

Considero ora la seguente forma, a cui può essere ricondotta quella
del numero proposto:

1) q²+q-2 = (q+2)(q-1) ,

in cui q corrisponde al quadrato di p elevato a 3n.
Dal momento che p è primo con 3, lo è anche q.
Il quadrato di un numero primo con 3 segue sempre di un'unità un
multiplo di 3, poiché:

(3k±1)² = 3k(3k±2)+1,

perciò anche q è di questo tipo, avendo già detto che è il quadrato
di una potenza di p non divisibile per 3.
Guardando la (1), allora, concludo che q+2 e q-1 sono entrambi
multipli di 3 e pertanto il loro prodotto è un multiplo di 9.

L'intera espressione, dunque, è un multiplo di 18 = 2x9, essendo
2 e 9 primi fra loro.

[Sk_Anonymous]

Ottima soluzione (anche se diversa dalla mia che fa uso del teorema di Fermat)
Archimede
P.S.
Bruno? questo nome non mi giunge nuovo....

[Sk_Anonymous]

"archimede":
Siano n e p due interi positivi con n qualunque e p non divisibile per 3.
Dimostrare che il numero $N=p^(12n)+p^(6n)-2$ e' divisibile per 18

Vale $N \equiv p + p \equiv 0$ mod $2$. Inoltre $\gcd(p,9) = 1$, per via delle ipotesi. Dunque $p^{6n} \equiv 1$ mod $9$, in base al teorema di Euler-Fermat, siccome $\varphi(9) = 6$. Da qui $N \equiv 1 + 1 - 2 \equiv 0$ mod $9$, e quindi la tesi, per conseguenza delle proprietà moltiplicative dei moduli.