Disuguaglianza

[Mistral2]

Siano $acb leq 1$ e $a,b,c>0$ provare che:

$a/c + b/a + c/b geq a+b+c$

Aiutino basta sfruttare un risultato discusso in un precedente post fatto qui .


Saluti

Mistral

[Sk_Anonymous]

Wlog, possiamo ammettere $0 < c \le b \le a$, cosicché $1/c \ge 1/b \ge 1/a$. Dunque le 3-uple $(a,b,c)$ e $(1/c, 1/b, 1/a)$ sono ordinate alle stesso modo. Di conseguenza, per la disuguaglianza di Chebyshev: $LHS \ge (a+b+c)/3 * (1/a + 1/b + 1/c)$. Eppure $1/a + 1/b + 1/c \ge 3/root[3]{abc} \ge 3$, in base alla HM-GM. Da qui la conclusione.

EDIT: rivista e corretta, su segnalazione di archimede.

[Sk_Anonymous]

Nell'ultimo passaggio ( interpretando quel $sqrt3$ come una radice cubica
che si scrive root[3]) e' da notare che $abc<=1$ e non $abc=1$
Dico questo perche' alla medesima conclusione ero giunto anch'io ma mi sono dovuto
fermare a quel punto.
Archimede

[Sk_Anonymous]

Urca, è proprio vero! Allora usiamo l'approccio alternativo...

[Mistral2]

"HiTLeuLeR":Wlog, possiamo ammettere $0 < c \le b \le a$, cosicché $1/c \ge 1/b \ge 1/a$. Dunque le 3-uple $(a,b,c)$ e $(1/c, 1/b, 1/a)$ sono ordinate alle stesso modo. Di conseguenza, per la disuguaglianza di Chebyshev: $LHS \ge (a+b+c)/3 * (1/a + 1/b + 1/c)$. Eppure $1/a + 1/b + 1/c \ge 3/root[3]{abc} \ge 3$, in base alla HM-GM. Da qui la conclusione.

EDIT: rivista e corretta, su segnalazione di archimede.

ok! comunque si può risolvere anche usando solo la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica.

Se a qualcuno interessa poi posto la soluzione.

Saluti

Mistral

[Sk_Anonymous]

Posta pure.Sono interessato.
Ciao.
Archimede

[Mistral2]

"archimede":Posta pure.Sono interessato.
Ciao.
Archimede

Siccome $abc leq 1$ segue che $1/(bc) geq a$, $1/(ab) geq c$ e $1/(ac) geq b$. Applicando la disuguaglianza tra media aritmentica e geometrica si ottiene:

$2a/c+c/b=a/c +a/c +c/b geq 3(a^{2}/(bc))^{1/3} geq 3a$

allo stesso modo si ottiene $2b/a+a/c geq 3b$ e $2c/b +b/a geq 3c$. Sommando le tre disuguaglianze e dividendo per $3$ si ottiene il risultato.


Saluti

Mistral