Disuguaglianza

[Pachito1]

Salve a tutti e complimenti per il forum.
Tanto per fare conoscenza vi pongo questo problemino davvero carino.

Dimostrare che x-x >= sin(x)/4
nell'intervallo [0,].

Ciao

[Sk_Anonymous]

Se il secondo membro si legge cosi':
1/4*sin(x)*(pg^2) ,dove pg=p-greco,allora
la disequazione sembra verificata ,se ci limita a [0,pg],
solo in [0,0.57rad] circa e non in tutto [0,pg].
Sembra lo stesso anche con altre interpretazioni.
Fatto con Derive.
Puoi chiarire la cosa?
karl.

[Pachito1]

Si, la disequazione mi sembra scritta in maniera corretta, ma per sicurezza ve la riscrivo senza simboli.

pg*x - x^2 >= 1/4* sin(x) * (pg^2)

Forse hai inserito una equazione differente, questa in 0.58 rad è ancora verificata: 1.485723739 > 1.352194863
Comunque o ricontrollato anche graficamente ed è corretto.
Ciao

[WonderP1]

Come l'hai scritta tu mi risulta verificata per x [0;], in 0,57 mi risulta
1,465807813>=1,331488711 verificato
i due membri si eguagliano in tre punti 0 e /2, la due parti sono simmetriche rispetto a /2, ho provato con il sistema delle derivate, ma non ne ho cavato un ragno dal buco.




WonderP.

[Sk_Anonymous]

Avevo interpretato il primo membro addirittura come
(p-greco)^(x-x^2)!!!. Adesso va bene e ci provo.
karl.

[abell1]

Dobbiamo dimostrare che la funzione
f(x) := pi x - x^2 - pi^2 sin(x) / 4
è non negativa tra 0 e pi.

1) Deriviamo:
f'(x) = pi - 2x - pi^2 cos(x) / 4
f''(x) = -2 + pi^2 sin(x) / 4

2) Osserviamo che:
f(x) è 0 almeno in x = 0, pi/2 e pi (ed eventualmente altri punti).
f'(x) è 0 almeno in x = pi/2.
f''(x) è <=0 in [0, x0] e in [x1, pi] e >=0 in [x0, x1].

dove x0 e x1 sono i punti 0 < x0 < pi/2 < x1 < pi per i quali
vale f''(x) = 0 (ci interessa solo in quale intervallo rientrano
e non il loro valore esatto).

3) Poiché f(pi/2) = f'(pi/2) = 0 e f''>0 in (x0, x1),
segue che f(x) è >=0 in [x0, x1] e che l'unico punto
dell'intervallo [x0,x1] in cui è 0 è pi/2.

4) In [0, x0] la derivata seconda è negativa, quindi f(x) è concava,
quindi f(x) domina (è maggiore o uguale di) la corda che parte dal
punto (0,0) e arriva al punto (x0,f(x0)).
Ne segue che anche nell'intervallo [x, x0] si ha f(x)>=0.

5) In maniera analoga (o per simmetria) si ha che
f(x)>=0 nell'intervallo [x1, pi].

Finito.

[Pachito1]

Ottimo. Risposta corretta.

[Mistral2]

citazione:

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Salve a tutti e complimenti per il forum.
Tanto per fare conoscenza vi pongo questo problemino davvero carino.

Dimostrare che x-x >= sin(x)/4
nell'intervallo [0,].

Ciao

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Ne faccio una deduzione geometrico-intuitiva:
la disuguaglianza si può riscrivere come segue:

4*x*(pi.greco-x)/pi.greco^2>=sinx

in tal modo a sinistra si nota la parabola che passa per 0 per pi.greco e assume 1 in pi.greco/2, insomma la interpolazione su tre punti di sinx.
Sia la parabola che sinx hanno due tratti monotoni ai cui estremi coincidono, tra 0 e pi.greco/2 dove entrambe crescono, e tra pi.greco/2 e pi.greco dove entrambe decrescono. Nei due tratti di monotonia coincidono anche le concavita delle due curve e nell'intorno di 0 e di pi.greco la parabola assume valori maggiori di sinx (basta controllare le tangenti nei due punti).
Se ora la parabola incrocia sinx passandoci al di sotto nel tratto 0
Come la vedete?

Saluti

Mistral

[Pachito1]

citazione:

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data la concavità la relativa tangente puo' solo continuare a decrescere fino a pi.greco/2

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Potresti essere più chiaro?

[Mistral2]

citazione:

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citazione:

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data la concavità la relativa tangente puo' solo continuare a decrescere fino a pi.greco/2

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Potresti essere più chiaro?

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In effetti senza ricadere nella bella dimostrazione già data da abell non riesco a dare una giustificazione rigorosa del passaggio, a prima vista mi sembrava si potesse, ma ora credo di no, comunque se qualcuno ha delle idee.

Quindi non riesco ad essere più chiaro