Dimostrazione potenze
Dimostrare che $\sum_{i=0}^N k^i = (k^(N+1)-1)/(k-1)$
Probabilmente è argomento scolastico, ma non avendo ancora studiato quest'argomento mi sono cimentato in una dimostrazione strana che si basa sulla scrittura della somma in base $k$ anzichè in base $10$.
Faccio un esempio induttivo. Se io ho delle potenze di $3$ da $3^0$ a $3^2$ estremi inclusi = $3^0+3^1+3^2$ scritto in base $3$ diventa $111$ se moltiplico tutto per $2$ ottengo $222$ aggiungendo $1$ ottengo $1000$ ovvero $3^3$
Rifacendo il procedimento a ritroso si giunge alla formula di sopra.
Chiaramente questo vale per ogni valore di $N$ e di $k$
Infatti scrivendo la somma in base $k$ si avrà un numero composto da $N+1$ cifre uguali a $1$, moltiplicando il tutto per $k-1$ e aggiungendo un'unità si avrà un numero costituito da $1$ seguito da $N+1$ zeri che corrisponde a $k^(N+1)$. Quindi partendo da $k^(N+1)$ tolgo un unità e ottengo $k^(N+1)-1$ divido per $k-1$ e ottengo la sommatoria delle potenze.
Qual è la dimostrazione ufficiale?
Probabilmente è argomento scolastico, ma non avendo ancora studiato quest'argomento mi sono cimentato in una dimostrazione strana che si basa sulla scrittura della somma in base $k$ anzichè in base $10$.
Faccio un esempio induttivo. Se io ho delle potenze di $3$ da $3^0$ a $3^2$ estremi inclusi = $3^0+3^1+3^2$ scritto in base $3$ diventa $111$ se moltiplico tutto per $2$ ottengo $222$ aggiungendo $1$ ottengo $1000$ ovvero $3^3$
Rifacendo il procedimento a ritroso si giunge alla formula di sopra.
Chiaramente questo vale per ogni valore di $N$ e di $k$
Infatti scrivendo la somma in base $k$ si avrà un numero composto da $N+1$ cifre uguali a $1$, moltiplicando il tutto per $k-1$ e aggiungendo un'unità si avrà un numero costituito da $1$ seguito da $N+1$ zeri che corrisponde a $k^(N+1)$. Quindi partendo da $k^(N+1)$ tolgo un unità e ottengo $k^(N+1)-1$ divido per $k-1$ e ottengo la sommatoria delle potenze.
Qual è la dimostrazione ufficiale?
Risposte
La dimostrazione ufficiale?
Io sono sicura che Ruffini lo conosci e quindi sei in grado di utilizzare la dimostrazione "ufficiale"
Con Ruffini, appunto, si può dimostrare che $a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+ ... +b^(n-1))$,
metto il resto in spoiler, se vuoi cimentarti prima di leggere la soluzione
Io sono sicura che Ruffini lo conosci e quindi sei in grado di utilizzare la dimostrazione "ufficiale"
Con Ruffini, appunto, si può dimostrare che $a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+ ... +b^(n-1))$,
metto il resto in spoiler, se vuoi cimentarti prima di leggere la soluzione
Ok, grazie per la dimostrazione. Piccola curiosità. Nella pratica quando si usa questa formula? A me è capitato di doverla usare per le potenze di $2$ in qualche rarissimo caso.
Ad esempio il problema dei chicchi di riso, in cui a partire dal primo del mese il re riceve 1 chicco di riso e la quantità raddoppia ogni giorno. Alla fine bisogna trovare i chicchi di riso totali.
Un altro caso è la sommatoria degli elementi di una progressione geometrica.
Poi per cos'altro?
Ad esempio il problema dei chicchi di riso, in cui a partire dal primo del mese il re riceve 1 chicco di riso e la quantità raddoppia ogni giorno. Alla fine bisogna trovare i chicchi di riso totali.
Un altro caso è la sommatoria degli elementi di una progressione geometrica.
Poi per cos'altro?
Recentemente mi è capitato di utilizzarla - al momento non ricordo altri casi -.
Cercavo una coppia di interi $ n, m $ tali che $2^n-3^m =1$, con $n>2$.
Ho svolto:
$2^n-1=3^m$. Si vede che n deve essere pari, quindi: $4^p-1=3^m$ con $p=n/2$
e $(4-1)*(4^(p-1) + 4^(p-2)....+ 4+1)=3^m$
Ogni addendo del secondo fattore del membro di sinistra è $ =1 $ modulo $ 3 $.
Quindi, affinché il membro di sinistra possa essere una potenza di $3$,
deve essere $p=3*q$ (q intero), oppure $p=1$.
Per $ p !=1$, trovo $64^q-1=3^m$.
Il membro di sinistra è multiplo di 63 quindi non può essere una potenza di 3. Se non per $p=1 $ che
corrisponde al risultato $n=2,m=1$.
Saluti,
Andrea
Cercavo una coppia di interi $ n, m $ tali che $2^n-3^m =1$, con $n>2$.
Ho svolto:
$2^n-1=3^m$. Si vede che n deve essere pari, quindi: $4^p-1=3^m$ con $p=n/2$
e $(4-1)*(4^(p-1) + 4^(p-2)....+ 4+1)=3^m$
Ogni addendo del secondo fattore del membro di sinistra è $ =1 $ modulo $ 3 $.
Quindi, affinché il membro di sinistra possa essere una potenza di $3$,
deve essere $p=3*q$ (q intero), oppure $p=1$.
Per $ p !=1$, trovo $64^q-1=3^m$.
Il membro di sinistra è multiplo di 63 quindi non può essere una potenza di 3. Se non per $p=1 $ che
corrisponde al risultato $n=2,m=1$.
Saluti,
Andrea
grazie per l'esempio.
Quando ti troverai a che fare con trasformate Z, trasformate di Laplace e trasformate di Fourier userai tale formula un esercizio si uno no
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo