Dimostrazione
Presa da un giornale inglese:
Dimostrare che $n^2+n+1$ non è un quadrato per $n>0$
Dimostrare che $n^2+n+1$ non è un quadrato per $n>0$
Risposte
sia $n in NN-{0}$
allora:
$n^2+n+1>n^2$, e $n^2$ è il quadrato di $n$
il successivo quadrato è $(n+1)^2=n^2+2n+1=(n^2+n+1)+n>n^2+n+1$
pertanto $n^2
allora:
$n^2+n+1>n^2$, e $n^2$ è il quadrato di $n$
il successivo quadrato è $(n+1)^2=n^2+2n+1=(n^2+n+1)+n>n^2+n+1$
pertanto $n^2
In sintesi...
$n^2+n+1$ si trova tra due quadrati successivi, non può pertanto essere un quadrato.
si, ma adaBTTLS ha specificato che $n in NN$
potrebbe non esserlo?
io ho interpretato che $n^2+n+1$ debba essere un "quadrato perfetto" e pertanto in particolare intero, positivo se $n>=0$, e nell'ipotesi c'è $n>0$.
se tolgo $1$, intero, $n^2+n=n(n+1)$ deve essere intero.
supponiamo $n in QQ, n=k/m, k,m in NN-{0}, M.C.D.(k,m)=1$. allora $n(n+1)=k/m*(k/m+1)=k/m*(k+m)/m=(k(k+m))/(m^2)$, ove né $k$ né $k+m$ sono divisibili per $m$.
non oso immaginare che cosa verrebbe fuori con numeri irrazionali.
... ergo, penso che l'ipotesi di $n$ intero andasse aggiunta.
io ho interpretato che $n^2+n+1$ debba essere un "quadrato perfetto" e pertanto in particolare intero, positivo se $n>=0$, e nell'ipotesi c'è $n>0$.
se tolgo $1$, intero, $n^2+n=n(n+1)$ deve essere intero.
supponiamo $n in QQ, n=k/m, k,m in NN-{0}, M.C.D.(k,m)=1$. allora $n(n+1)=k/m*(k/m+1)=k/m*(k+m)/m=(k(k+m))/(m^2)$, ove né $k$ né $k+m$ sono divisibili per $m$.
non oso immaginare che cosa verrebbe fuori con numeri irrazionali.
... ergo, penso che l'ipotesi di $n$ intero andasse aggiunta.
Sono andato a memoria nel riportare l'esercizio, non ricordo se fosse riportato l'nsieme in cui operare, comunque avete fatto bene a specificarlo.
Il giornale era un quotidiano normale non di divulgazione scientifica (mi sembra The Guardian) quindi dato che le persone comuni di solito hanno a che fare con i Naturali potrebbero anche averlo omesso.
Cerchiamo di essere onesti, la metà dei lettori non evrebbe saputo dare un significato a $n in NN$.
Il giornale era un quotidiano normale non di divulgazione scientifica (mi sembra The Guardian) quindi dato che le persone comuni di solito hanno a che fare con i Naturali potrebbero anche averlo omesso.
Cerchiamo di essere onesti, la metà dei lettori non evrebbe saputo dare un significato a $n in NN$.
In effetti è così. Seguendo il discorso di Ada, [tex]n²+n+1[/tex] non può
essere un quadrato perfetto attribuendo ad [tex]n[/tex] un numero intero
qualsivoglia diverso da [tex]0[/tex] e [tex]-1[/tex].
Mentre si possono trovare infiniti valori razionali per [tex]n[/tex] che rendano
quell'espressione pari a un quadrato razionale perfetto.
Per esempio, partendo da [tex]n(n+1)= p²-1=(p-1)(p+1)[/tex], si
può prendere [tex]n=(p-1)k[/tex] e di conseguenza [tex]n+1=\frac{p+1}{k}[/tex] (per [tex]n[/tex],
[tex]p[/tex], [tex]k[/tex] razionali), e poi si può porre [tex]k=\frac{m+1}{m}[/tex], trovando finalmente
l'identità:
[tex](\frac{m^2-1}{2m+1})^2+(\frac{m^2-1}{2m+1})+1\,=\, (\frac{m^2+m+1}{2m+1})^2\; .[/tex]
in cui si può scegliere un qualsiasi intero [tex]m\,>\,1[/tex] per rimanere
in $QQ^+$
C'è da sbizzarrirsi, insomma
essere un quadrato perfetto attribuendo ad [tex]n[/tex] un numero intero
qualsivoglia diverso da [tex]0[/tex] e [tex]-1[/tex].
Mentre si possono trovare infiniti valori razionali per [tex]n[/tex] che rendano
quell'espressione pari a un quadrato razionale perfetto.
Per esempio, partendo da [tex]n(n+1)= p²-1=(p-1)(p+1)[/tex], si
può prendere [tex]n=(p-1)k[/tex] e di conseguenza [tex]n+1=\frac{p+1}{k}[/tex] (per [tex]n[/tex],
[tex]p[/tex], [tex]k[/tex] razionali), e poi si può porre [tex]k=\frac{m+1}{m}[/tex], trovando finalmente
l'identità:
[tex](\frac{m^2-1}{2m+1})^2+(\frac{m^2-1}{2m+1})+1\,=\, (\frac{m^2+m+1}{2m+1})^2\; .[/tex]
in cui si può scegliere un qualsiasi intero [tex]m\,>\,1[/tex] per rimanere
in $QQ^+$
C'è da sbizzarrirsi, insomma
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