Determinare le coppie di interi (x;y) tali che...
Determinare tutte le coppie (x, y) di numeri interi tali che:
$ x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006 $
se non vi crea disturbo, invece di dirmi direttamente la soluzione e il procedimento completo, potreste darmi solo qualche suggerimento? Sono nuovo di questi esercizi e vorrei imparare un po' a po' a ragionarci e a risolverli autonomamente. Grazie
$ x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006 $
se non vi crea disturbo, invece di dirmi direttamente la soluzione e il procedimento completo, potreste darmi solo qualche suggerimento? Sono nuovo di questi esercizi e vorrei imparare un po' a po' a ragionarci e a risolverli autonomamente. Grazie
Risposte
Puoi notare che sia $x$ che $y$ devono essere pari.
Ci avevo già pensato, ma non riesco a trovare un modo per sfruttarlo
Prova a fare una sostituzione per $x$ e $y$ (essendo pari si possono scrivere in quale forma?), e vedi cosa riesci a dire sui tuoi nuovi numeri (ottieni un'equazione molto simile a quella originale. Cosa puoi concludere?).
grazie per l'aiuto, penso di aver risolto:
essendo $ x $ e $ y $ pari posso scriverli come
$ x=2n $ e $ y=2m $
quindi trovo che
$ n^4+9m^4+3m^2n^2=2^4008*3^2006 $
lo stesso passaggio posso ripeterlo fino a che l'esponente del 2 non diventa 0, quindi posso scrivere che
$ x=2^1003*n $ e $ y=2^1003*m $ (dove m ed n sono diversi da quelli di prima) e che
$ (2^1003*n)^4+3(2^1003*n)^2(2^1003*m)^2+9(2^1003*m)^4=2^4012*3^2006 $
$ 2^4012*(n)^4+3*2^2006*(n)^2*2^2006*(m)^2+9*2^4012*(m)^4=2^4012*3^2006 $
$ (n)^4+3*(n)^2*(m)^2+9*(m)^4=3^2006 $
a questo punto essendo necessariamente sia $ 3*n^2*m^2 $ e $ 9*m^4 $ multipli di 3, anche $ n^4 $ deve esserlo
e per esserlo deve essere $ n=3*p $ quindi
$ 3^4*(p)^4+3*3^2*(p)^2*(m)^2+3^2*(m)^4=3^2006 $
$ 9*(p)^4+3*(p)^2*(m)^2+(m)^4=3^2004 $
faccio lo stesso lavoro con m=3h e poi di nuovo con p=3... e così via fino a che non si annulla anche l'esponente del 3, quindi
$ n=3^502*p $ e $ m=3^501*h $ e
$ 9*p^4+h^4+3*p^2*h^2=1 $
le soluzioni intere di questa equazione sono solo p=0 e h=1 quindi
$ n= 3^502*0=0 $
$ x=0 $
$ m=3^501*1 $
$ y=2^1003*3^501 $
l'unica soluzione è questa, giusto? c'è un modo più veloce? Grazie per il tuo aiuto
essendo $ x $ e $ y $ pari posso scriverli come
$ x=2n $ e $ y=2m $
quindi trovo che
$ n^4+9m^4+3m^2n^2=2^4008*3^2006 $
lo stesso passaggio posso ripeterlo fino a che l'esponente del 2 non diventa 0, quindi posso scrivere che
$ x=2^1003*n $ e $ y=2^1003*m $ (dove m ed n sono diversi da quelli di prima) e che
$ (2^1003*n)^4+3(2^1003*n)^2(2^1003*m)^2+9(2^1003*m)^4=2^4012*3^2006 $
$ 2^4012*(n)^4+3*2^2006*(n)^2*2^2006*(m)^2+9*2^4012*(m)^4=2^4012*3^2006 $
$ (n)^4+3*(n)^2*(m)^2+9*(m)^4=3^2006 $
a questo punto essendo necessariamente sia $ 3*n^2*m^2 $ e $ 9*m^4 $ multipli di 3, anche $ n^4 $ deve esserlo
e per esserlo deve essere $ n=3*p $ quindi
$ 3^4*(p)^4+3*3^2*(p)^2*(m)^2+3^2*(m)^4=3^2006 $
$ 9*(p)^4+3*(p)^2*(m)^2+(m)^4=3^2004 $
faccio lo stesso lavoro con m=3h e poi di nuovo con p=3... e così via fino a che non si annulla anche l'esponente del 3, quindi
$ n=3^502*p $ e $ m=3^501*h $ e
$ 9*p^4+h^4+3*p^2*h^2=1 $
le soluzioni intere di questa equazione sono solo p=0 e h=1 quindi
$ n= 3^502*0=0 $
$ x=0 $
$ m=3^501*1 $
$ y=2^1003*3^501 $
l'unica soluzione è questa, giusto? c'è un modo più veloce? Grazie per il tuo aiuto
Hai mancato una soluzione. Sostituendo $x=0$ nell'equazione originale, trovi che $9y^4=12^2006$, quindi le soluzioni sono $y=2^1003*3^501 $ e $ y=-2^1003*3^501 $.
Ah, giusto, mi ero dimenticato che x e y dovevano essere interi ma non necessariamente naturali, grazie.
Di niente
L'equazione di partenza è resa apparentemente stimolate per via della potenza 2006 ma in realtà è una banale biquadratica.
Sostituisci W a \(x^2\) e Z a \(y^2\) e ottieni \(W^{2} + 3WZ + 9 Z^2 = 12^{2006}\)
che si risolve banalmente in
$W = \frac{-3Z \pm \sqrt{(3Z)^2 - 4(1) (9 Z^2 -12^{2006})}}{2} = \frac{-3Z \pm \sqrt{( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006}))}}{2}$
Razionalizziamo e otteniamo
$9Z^2 - ( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006})) = 4 (9Z^2) - 4 (12^{2006})) = 2^2 3^2 Z^2 - 2^2 2^4012 3^2006$
Dividiamo tutto per \(2^2 3^2\) e otteniamo \(Z^2 - 2^{4012} 3^{2004}\) che si azzera per \(Z = 2^{2006} 3^{1002}\)
da cui $Y = \sqrt{Z} = 2^{1003} 3^{501}$
Conclusione: tutti i passaggi sono standard per la risoluzione di una biquadratica classica.
Il tutto vale sempre se mettiamo $12^{2p}$ con p>=1 nel nostro caso sarebbe p = 1003.
Lo sforzo mentale è legato alla scomposizione/aggregazione dei numeri per mantenere il calcolo a livello simbolico.
La soluzione è unica (ovviamente con il + e il - davanti) perchè, 12 non ha altri divisori che 2 e 3 e quindi non esistono altri numeri che possano portare a valori interi sotto radice e nei rapporti.
Abbastanza lineare?
Ciao.
Sostituisci W a \(x^2\) e Z a \(y^2\) e ottieni \(W^{2} + 3WZ + 9 Z^2 = 12^{2006}\)
che si risolve banalmente in
$W = \frac{-3Z \pm \sqrt{(3Z)^2 - 4(1) (9 Z^2 -12^{2006})}}{2} = \frac{-3Z \pm \sqrt{( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006}))}}{2}$
Razionalizziamo e otteniamo
$9Z^2 - ( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006})) = 4 (9Z^2) - 4 (12^{2006})) = 2^2 3^2 Z^2 - 2^2 2^4012 3^2006$
Dividiamo tutto per \(2^2 3^2\) e otteniamo \(Z^2 - 2^{4012} 3^{2004}\) che si azzera per \(Z = 2^{2006} 3^{1002}\)
da cui $Y = \sqrt{Z} = 2^{1003} 3^{501}$
Conclusione: tutti i passaggi sono standard per la risoluzione di una biquadratica classica.
Il tutto vale sempre se mettiamo $12^{2p}$ con p>=1 nel nostro caso sarebbe p = 1003.
Lo sforzo mentale è legato alla scomposizione/aggregazione dei numeri per mantenere il calcolo a livello simbolico.
La soluzione è unica (ovviamente con il + e il - davanti) perchè, 12 non ha altri divisori che 2 e 3 e quindi non esistono altri numeri che possano portare a valori interi sotto radice e nei rapporti.
Abbastanza lineare?
Ciao.
"Esperanto":
L'equazione di partenza è resa apparentemente stimolate per via della potenza 2006 ma in realtà è una banale biquadratica.
Sostituisci W a \(x^2\) e Z a \(y^2\) e ottieni \(W^{2} + 3WZ + 9 Z^2 = 12^{2006}\)
che si risolve banalmente in
$W = \frac{-3Z \pm \sqrt{(3Z)^2 - 4(1) (9 Z^2 -12^{2006})}}{2} = \frac{-3Z \pm \sqrt{( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006}))}}{2}$
Razionalizziamo e otteniamo
$9Z^2 - ( - 3 (9 Z^2) +4 (12^{2006})) = 4 (9Z^2) - 4 (12^{2006})) = 2^2 3^2 Z^2 - 2^2 2^4012 3^2006$
Dividiamo tutto per \(2^2 3^2\) e otteniamo \(Z^2 - 2^{4012} 3^{2004}\) che si azzera per \(Z = 2^{2006} 3^{1002}\)
da cui $Y = \sqrt{Z} = 2^{1003} 3^{501}$
Conclusione: tutti i passaggi sono standard per la risoluzione di una biquadratica classica.
Il tutto vale sempre se mettiamo $12^{2p}$ con p>=1 nel nostro caso sarebbe p = 1003.
Lo sforzo mentale è legato alla scomposizione/aggregazione dei numeri per mantenere il calcolo a livello simbolico.
La soluzione è unica (ovviamente con il + e il - davanti) perchè, 12 non ha altri divisori che 2 e 3 e quindi non esistono altri numeri che possano portare a valori interi sotto radice e nei rapporti.
Abbastanza lineare?
Ciao.
ciao, mi sembra un procedimento decisamente più semplice
, solo non ho capito una cosa: quando razionalizzi tu presupponi che W=0 (trovi Z poichè \(Z^2 - 2^{4012} 3^{2004}\) si azzera per \(Z = 2^{2006} 3^{1002}\) ), come fai a sapere per certo già a quel punto che W=0?
Beh W = 0 è una soluzione perche' W = X^2 e X = 0 è una radice valida perchè $\sqrt\sqrt(12^{2006}/9)$ risulta intero.
Questo si vede dalla equazione originale.
Ciao
Questo si vede dalla equazione originale.
Ciao
"Esperanto":
Beh W = 0 è una soluzione perche' W = X^2 e X = 0 è una radice valida perchè $\sqrt\sqrt(12^{2006}/9)$ risulta intero.
Questo si vede dalla equazione originale.
Ciao
Ah, giusto, capisco, solo che così si presuppone che W possa essere SOLO zero, giusto? come fai a dirlo con certezza? Grazie per la tua pazienza, sono nuovo di questi esercizi
.Ciao
Ciao,
io non sono un matematico ma uno che si diverte. Qualcuno molto tempo fa ha dimostrato che una equazione ha tante radici quanto vale il suo grado. Ovvero equazione di secondo grado due radici.
Poi sappiamo che possono essere reali e distinte, coincidenti o complesse coniugate.
In alcuni casi ci sono opportunità di beccare al volo qualche radice banale, come in questo caso.
Un po' di esperienza aiuta. poi "= 0" per una equazione di quel tipo si vede che elimina due termini e quindi ci provi.
Se non fosse andata.... l'altro criterio era di sfruttare il fatto che cercavi due radici diverse e quindi il determinanate deve essere 0 o positivo e 12 ha solo divisori 2 e 3.
Adesso lascio spazio a qualche matematico serio che potrà darti indicazioni migliori,
io non sono un matematico ma uno che si diverte. Qualcuno molto tempo fa ha dimostrato che una equazione ha tante radici quanto vale il suo grado. Ovvero equazione di secondo grado due radici.
Poi sappiamo che possono essere reali e distinte, coincidenti o complesse coniugate.
In alcuni casi ci sono opportunità di beccare al volo qualche radice banale, come in questo caso.
Un po' di esperienza aiuta. poi "= 0" per una equazione di quel tipo si vede che elimina due termini e quindi ci provi.
Se non fosse andata.... l'altro criterio era di sfruttare il fatto che cercavi due radici diverse e quindi il determinanate deve essere 0 o positivo e 12 ha solo divisori 2 e 3.
Adesso lascio spazio a qualche matematico serio che potrà darti indicazioni migliori,
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