Cut & Paste

[axpgn]

Un triangolo di lati $4, 12, 12$ e un triangolo di lati $6, 9, 13$ hanno stesso perimetro ($28$) e stessa area ($4sqrt(35)$).

C'è un modo di tagliare il primo triangolo in un numero finito di parti tale che si possano riassemblare per formare il secondo triangolo e che il perimetro del primo triangolo diventi il perimetro del secondo?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Si prende il triangolo 12/12/4 e si effettuano 3 tagli perpendicolari al lato da 4, distanziati quindi di 1 tra di loro.
Con i 4 pezzi si forma una striscia larga 1 e lunga $4 sqrt35$.
Si taglia la striscia in 13 pezzi uguali facendo dei tagli perpendicolari al lato lungo, ottenendo 13 pezzi di dimensioni $1$ e $4/13 sqrt 35$.
Si ricompongono in pezzi in modo da costruire un rettangolo di dimensioni $13$ e $4/13 sqrt 35$.
Sul rettangolo appena ottenuto "si disegna" il triangolo 6/9/13 in modo che i due lati da 13 siano congruenti.
Una parte del triangolo 6/9/13 e' esterna al rettangolo.
Si effettuano due tagli sul rettangolo ricalcando parzialmente i lati 6 e 9 del triangolo.
Questi ultimi due tagli vanno a tagliare i singoli pezzettini di cui e' formato il rettangolo.
I pezzettini cosi' tagliati possono formare entrambi i triangoli.

PS. Ok, ho capito cosa vuole dire "che il perimetro del primo triangolo diventi quello del secondo". Io credevo che fosse in termini di lunghezza e mi dicevo che era scontato. Invece....

[Quinzio]

Allora, dovrebbe essere possibile farlo, nel modo seguente.
Una nozione preliminare e' che si possono trasformare due rettangoli di uguale area, uno nell'altro, se il rapporto tra i lati dei due rettangoli e' un numero razionale.
Il metodo e' quello di prima, si trova il massimo comune denominatore (in termini di lunghezza) dei due lati, si fanno i tagli perpendicolari e si possono formare le strisce lunghe e strette. A questo punto i due rettangoli sono uguali.
Un altro fatto preliminare e' che i rapporti tra tutte le altezze dei due triangoli 6-9-13 e 12-12-4 sono tutti numeri razionali.
Questo perche' l'area e' la stessa, e dato che l'altezza e' = 2 area / lato, i rapporti tra le altezze sono i rapporti tra i lati dei due triangoli.

Per trasformare un triangolo nell'altro con un numero finito di tagli preservando il perimetro, si inizia ritagliando un triangolo interno da ciascun triangolo.
Il triangolo interno si ricava tracciando le parallele ai lati, in modo che la distanza tra i nuovi lati e il vertice opposto sia una frazione dell'altezza, che puo' essere a piacere. La fissiamo a 9/10 per dare un idea. I lati nuovi sono quindi "vicini" ai lati originali.
Tagliamo via il triangolo interno e lo teniamo da parte e siamo rimasti con il bordo dei triangoli originali.
Facciamo 3 tagli partendo dai vertici originali e andando ai nuovi vertici del triangolo interno (assente).
In questo modo abbiamo i bordi dei singoli lati staccati tra di loro.
Sono 3 pezzi e hanno la forma di trapezi scaleni.
Trasformiamo il trapezio scaleno in una figura composta un rettangolo e due triangoli laterali facendo dei tagli perpendicolari alle basi. I due triangoli vengono trasformati in rettangoli con un taglio parallelo all'ex-perimetro del triangolo, a meta' altezza.
Questi due nuovi rettangoli vengono riattaccati al corpo centrale del trapezio in modo da preservare l'ex-perimetro del triangolo.
Adesso l'operazione che segue e' difficile da spiegare a parole, ci vorrebbe un disegno e un'animazione, comunque si puo' riassumere come segue.
Il bordo da trapezoidale e' diventato "rettangolare" nel senso che non ci sono piu' lati obliqui.
Si ritagliano tutti i rettangoli elementari. Siccome l'area dei bordi cosi' ottenuti e' la stessa (*) e il perimetro e' lo stesso, e' possibile trasformare il bordo di un ex-triangolo nel bordo dell'altro, siccome i lati stanno in rapporti razionali.
Si trova il comune denominatore in termini di lunghezza, si tagliano ulteriormente i rettangoli, si forma la striscia lunga e si fa il processo inverso per arrivare al nuovo bordo.

I due triangoli interni si trasformano col metodo che ho descritto nel post precedente.
In quest'ultimo caso il perimetro non si preserva, ma il triangolo e' interno e quindi il perimetro non interessa.
Abbiamo quindi trasformato un bordo nell'altro, trasformato un triangolo interno nell'altro, i triangoli si riassemblano mettendo il triangolo interno dentro al suo bordo.

(*)
Si deve notare che i due triangoli interni hanno la stessa area. Infatti ogni volta che si riduce l'altezza di 9/10, nell'esempio fatto, e di taglia via il bordo, l'area del triangolo rimasto e' i 9/10 di quella originale. Dopo aver tagliato via i 3 bordi, il triangolo rimasto e' (9/10)^3 di quello originale.
Quindi anche i bordi hanno la stessa area, ad es. 1-(9/10)^3 dell'originale.

[axpgn]

"Quinzio":PS. Ok, ho capito cosa vuole dire "che il perimetro del primo triangolo diventi quello del secondo". Io credevo che fosse in termini di lunghezza e mi dicevo che era scontato. Invece....

Eh sì, troppo facile altrimenti

Sinceramente non mi è chiarissimo il procedimento che usi però, dopo averci riflettuto un poco, a sensazione mi pare una complicazione della soluzione che conosco io.
La prima parte l'ho capita, togli la polpa lasciando la buccia
Polpa che poi tagliuzzi e rimetti al suo posto
Se poi ho capito la seconda parte del procedimento, dovrebbe andare bene (peraltro dato che lo spessore della buccia è indifferente tanto vale non togliere polpa, no? )

[Quinzio]

"axpgn":

Sinceramente non mi è chiarissimo il procedimento che usi però, dopo averci riflettuto un poco, a sensazione mi pare una complicazione della soluzione che conosco io.
La prima parte l'ho capita, togli la polpa lasciando la buccia
Polpa che poi tagliuzzi e rimetti al suo posto
Se poi ho capito la seconda parte del procedimento, dovrebbe andare bene (peraltro dato che lo spessore della buccia è indifferente tanto vale non togliere polpa, no? )

Mi sembra che ci siamo intesi

Pero' no, sul fatto di togliere la polpa e lasciare solo la buccia non sono d'accordo, non si riesce a fare.

Se anche io ho capito bene il metodo semplificato e':
scelgo un punto interno al triangolo.
Faccio 3 tagli dal punto ai vertici e cosi' ottengo 3 triangoli.
Ogni triangolo lo trasformo in un rettangolo tagliandolo "sulla meta' " e sulla altezza, ecc... il modo lo conosciamo.
Ritaglio ulteriormente i rettangoli in modo da ottenere i lati dell'altro triangolo e i rettangoli della larghezza giusta.
Formo l'altro triangolo.
No, secondo me non funziona.

[axpgn]

"Quinzio":Pero' no, sul fatto di togliere la polpa e lasciare solo la buccia non sono d'accordo, non si riesce a fare. ...
No, secondo me non funziona.

Perché ti sei perso il punto fondamentale.
Metto i disegni (che tanto si capisce) perché non ho voglia di scrivere

[Quinzio]

Vero !
Hanno lo stesso cerchio inscritto.
Cosi' torna.