Corde

[axpgn]

Nel cerchio di centro $O$, la corda $\bar(ED)$ è perpendicolare al diametro $\bar(AB)$.
Si scelga un qualsiasi punto $P$ sull'arco $AD$.
La corda $\bar(PB)$ interseca la corda $\bar(ED)$ nel punto $N$ mentre il prolungamento del segmento $\bar(PG)$ interseca l'arco $EB$ nel punto $F$.

Dimostrare che $\bar(BN)>=\bar(FG)$

[Brancaleone1]

Gli angoli $\hat{EFP}$ e $\hat{EBP}$ sono uguali, in quanto angoli alla circonferenza sottesi dalla corda $\bar{EP}$.

Ciò implica la seguente proporzione tra i lati dei triangoli $EBN$ ed $EFG$:

$\bar{BN} / \bar{FG} = \bar{EN} / \bar{EG}$

Per la geometria del problema, la relazione $\bar{EN} >= \bar{EG}$ è sempre vera, perciò

$\bar{BN} / \bar{FG} = \bar{EN} / \bar{EG} >= 1$

e quindi è dimostrato che

$\bar{BN} / \bar{FG} >= 1 \Rightarrow \bar{BN} >= \bar{FG}$

[Drazen77]

Non è una dimostrazione, ma un ragionamento vergognosamente grezzo, comunque:

1 - se pongo $P$ su $D$, $BN$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo $BDG$
mentre $FG$ è un cateto del triangolo rettangolo $EGB$ (congruente a $BDG$), quindi $BN>FG$.

2 - se pongo $P$ su $A$, $BN$ e $FG$ sono sovrapposti, quindi $BN=FG$.
Quindi $FG$ non è mai maggiore di $BN$.

[axpgn]

@Drazen77
È la risposta che ho dato io quindi va bene

@Brancaleone
Mi sfugge una cosa, una cosa che probabilmente non ricordo più
Perciò mi spiegheresti perché ...

... c'è quella proporzionalità?

Cordialmente, Alex