Cinema, posti casuali

[kobeilprofeta]

Ci sono $n$ posti in un cinema, numerati. Ci sono $n$ persone, ognuno ha il suo biglietto con un posto preciso da occupare.
Tu sei l'ultimo della fila. Tra le $n-1$ persone davanti a te, c'è un analfabeta (non sai in quale posizione sia nella fila) che quando entra, non sapendo leggere il numero sul biglietto, si siede in un posto casuale tra quelli liberi (compreso il suo ovviamente). Le persone successive, quando entrano, se trovano il proprio posto occupato, scelgono anche loro casualmente dove sedersi (tra quelli liberi). Quando tu entri, ti siedi nell'unico posto rimasto vuoto.
Quale è la probabilità di sederti nel tuo posto giusto?

[Procedimento da giustificare, non basta dirlo ad occhio ]

[axpgn]

Mah, butto lì la prima cosa che mi è venuta in mente ... se l'ultimo della fila NON si siede al suo posto significa che tutti quelli dall'analfabeta in poi son seduti al posto sbagliato quindi abbiamo una dismutazione e se non ricordo male, al crescere di $n$ la probabilità di avere una dismutazione è $1/e$ ...

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

"axpgn":Mah, butto lì la prima cosa che mi è venuta in mente ... se l'ultimo della fila NON si siede al suo posto significa che tutti quelli dall'analfabeta in poi son seduti al posto sbagliato

Non è vero. Magari l'analfabeta si siede nel posto dell'ultimo e quindi si scambiano posto solo l'analfabeta e l'ultimo.

[curie88]

Mi risulta $1/n$, i casi possibili sono $n!$,i casi favorevoli:$ (n-1)!$
Il primo potrà scegliere tra $n-1$ posti, perché uno degli $n$ deve rimanere libero, quindi il secondo tra $n-2$, ecc...

[axpgn]

Riproviamo ...

Poniamo che il nostro analfabeta abbia il posto $k$ in coda ($k Quando entra ci saranno $k-1$ posti occupati e quindi $m=n-(k-1)=n-k+1$ posti liberi.
Il nostro analfabeta avrà una probabilità $1/m$ di "beccare" il proprio posto e la stessa probabilità per il mio (ultimo della fila): nel primo caso avrò il $100%$ di probabilità di sedermi al mio posto, nell'altro caso zero.
Nei restanti $m-2$ casi prenderà il posto di un terzo il quale diventa come l'analfabeta e quindi direi che ricomincia lo stesso ragionamento che alla fine mi porta a dire che avrò il $50%$ di probabilità di sedermi al mio posto. Isnt'it?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Esattamente $ 1/2 $ .. e non serve alcun calcolo.

Ciao

[kobeilprofeta]

@curie
Nope
@orsoulx
Esatto, ma cosa significa che

non serve alcun calcolo?

[kobeilprofeta]

"axpgn":Riproviamo ...

Poniamo che il nostro analfabeta abbia il posto $k$ in coda ($k Quando entra ci saranno $k-1$ posti occupati e quindi $m=n-(k-1)=n-k+1$ posti liberi.
Il nostro analfabeta avrà una probabilità $1/m$ di "beccare" il proprio posto e la stessa probabilità per il mio (ultimo della fila): nel primo caso avrò il $100%$ di probabilità di sedermi al mio posto, nell'altro caso zero.
Nei restanti $m-2$ casi prenderà il posto di un terzo il quale diventa come l'analfabeta e quindi direi che ricomincia lo stesso ragionamento che alla fine mi porta a dire che avrò il $50%$ di probabilità di sedermi al mio posto. Isnt'it?

Cordialmente, Alex

Sì può andare; )

[Drazen77]

Nel cinema ci sono dieci posti.
Il 1° entra e si siede al proprio posto,
il 2° entra e si siede al proprio posto,
il 3° è l'analfabeta e si siede al posto di quello che entrerà per 6°,
il 4° entra e si siede al proprio posto,
il 5° entra e si siede al proprio posto,
il 6° trova il proprio posto occupato e si siede al posto di quello che entrerà per 8°,
il 7° entra e si siede al proprio posto,
l' 8° trova il proprio posto occupato e si siede al posto di quello che entrerà per 9°,
il 9° trova il proprio posto occupato e si siede in uno dei due posti liberi: il mio o quello di un altro.
Io entro per ultimo e in funzione della scelta del 9° troverò il mio posto libero al 50%.

Se il 6° al posto di sedersi al posto che sarebbe spettato all' 8° si fosse seduto al posto del 3°(l'analfabeta), poi non avrebbe più sbagliato nessuno e io avrei avuto il mio posto al 100%.
Se invece il 6° si fosse seduto al mio posto io avrei avuto lo 0%.
E queste due ipotesi si bilanciano.

[curie88]

Se non sbaglio la soluzione errata che ho postato, prende in considerazione $n-1$ analfabeti, e risponde alla domanda, quale probabilità ha l`unico non analfabeta di trovare il suo posto libero?
Ritornando al post originario:

Si potrebbe fissare il posto di tutti i non-analfabeti, escluso l-ultimo a cui non è consentito scegliere; il penultimo che è l-analfabeta ha due possibilità di scelta il posto destinato all-ultimo o il suo;
Questi $2$ sono i casi possibili, mentre il caso favorevole è $1$ solo, quello in cui ognuno sceglie il proprio posto.

[orsoulx]

"kobeilprofeta":Esatto, ma cosa significa che non serve alcun calcolo?

Assodato il significato dell'affermazione, descrivo il ragionamento.

Nel problema compaiono due categorie di spettatori: i 'costretti' che, trovando il loro posto libero, vi si siedono e i 'decidenti' che, essendo analfabeta [ed anche un po' pigro, che a confrontare numeri scritti in cifre non ci vuole molto] o trovando il loro posto occupato, si siedono, a caso, in uno dei posti (almeno due) ancora liberi.
Due posti svolgono un ruolo fondamentale: quello 'A' dell'analfabeta e quello 'U' dell'ultimo spettatore in fila.
In ogni situazione i 'decidenti' ancora in fila per entrare possono solo essere uno o nessuno; inizialmente l'unico decidente in fila è l'analfabeta.
Quando un decidente si siede in:
- A, tutti gli spettatori ancora in fila troveranno il loro posto libero.
- U, tutti gli spettatori ancora in fila troveranno il loro posto libero, tranne l'ultimo che sarà costretto a sedersi in A.
- un posto (se esiste) diverso da A e U, il titolare di quel posto, che sicuramente non si è ancora accomodato, diventa l'unico decidente della fila restante.
Servono calcoli?

Ciao

[kobeilprofeta]

Ciao orso. No, non servono calcoli.