Calcolo delle probabilità
Ciao a tutti.
Vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente quesito:
Ho un sacchetto con 32 palline colorate. Ci sono 4 palline dello stesso colore per ogni colore, per un totale di 8 colori diversi.
Qual è la probabilità (in termini di percentuale) che estraendo 5 palline dal sacchetto io mi ritrovi soltanto due palline dello stesso colore?
Mi interessa sapere, oltre al risultato, il procedimento e la formula applicata.
Vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente quesito:
Ho un sacchetto con 32 palline colorate. Ci sono 4 palline dello stesso colore per ogni colore, per un totale di 8 colori diversi.
Qual è la probabilità (in termini di percentuale) che estraendo 5 palline dal sacchetto io mi ritrovi soltanto due palline dello stesso colore?
Mi interessa sapere, oltre al risultato, il procedimento e la formula applicata.
Risposte
Io lo farei così. Supponiamo per comodità che l'estrazione sia successiva, allora tutte le quintuple sono date da:\(\displaystyle 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \). I casi favorevoli sono \(\displaystyle 4\cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \). La prima pallina può essere scelta in 8, la seconda in 7, la terza in 6, la quarta 5 e l'ultima in 4.
La probabilità, ammesso che quello fatto sia giusto, dovrebbe venire: \(\displaystyle \frac{1290240}{24165120} \sim 5,3\)%.
La probabilità, ammesso che quello fatto sia giusto, dovrebbe venire: \(\displaystyle \frac{1290240}{24165120} \sim 5,3\)%.
Ciao e grazie per la risposta; penso che tu ti sia sbagliato solo di una virgola perché deve uscire il risultato di ∼53,4%.
Che significa che per comodità supponiamo che l'estrazione sia successiva? Scusami se ti chiedo di spiegarmi meglio ma non sono molto pratico con i calcoli delle probabilità..
Che significa che per comodità supponiamo che l'estrazione sia successiva? Scusami se ti chiedo di spiegarmi meglio ma non sono molto pratico con i calcoli delle probabilità..
A dire la verità non ho ben compreso il discorso di giannirecanati. Ad ogni modo ecco come farei io:
Ovviamente tutti i casi possibili sono $32*31*30*29*28$, come già sottolineato da giannirecanati.
Il difficile sta nel contare i casi favorevoli.
Supponendo che venga estratta una pallina alla volta (tanto non cambia), ho contato in quante posizioni distinte possono trovarsi le due palline dello stesso colore. Risultano 10 possibili disposizioni.
Inoltre abbiamo: 32 possibilità per scegliere la prima pallina;
28 per scegliere la seconda;
24 per la terza;
20 per la quarta;
3 per quella che si ripete.
Quindi in tutto i casi favorevoli sono $32*28*24*20*3*10$.
Alla fine il rapporto casi favorevoli/possibili risulta essere uguale a $0,5339=53,39$%
Ovviamente tutti i casi possibili sono $32*31*30*29*28$, come già sottolineato da giannirecanati.
Il difficile sta nel contare i casi favorevoli.
Supponendo che venga estratta una pallina alla volta (tanto non cambia), ho contato in quante posizioni distinte possono trovarsi le due palline dello stesso colore. Risultano 10 possibili disposizioni.
Inoltre abbiamo: 32 possibilità per scegliere la prima pallina;
28 per scegliere la seconda;
24 per la terza;
20 per la quarta;
3 per quella che si ripete.
Quindi in tutto i casi favorevoli sono $32*28*24*20*3*10$.
Alla fine il rapporto casi favorevoli/possibili risulta essere uguale a $0,5339=53,39$%
Ciao milizia grazie per la risposta; ti chiedo se è possibile spiegarmi bene passo passo, perché appunto mi interessa il ragionamento e mancandomi forse alcune basi non mi viene facile comprendere tutto. Non riesco a capire come sei arrivato a 10 disposizioni per due palline dello stesso colore, come le calcoli le posizioni?
Il disporre le due palline uguali rispetto alle altre tre, possiamo dire che equivale, ad esempio, a trovare tutti gli anagrammi(anche quelli senza significato) di AABBB.
Infatti è come se rappresentassimo con A una delle due palline con lo stesso colore, e con B le altre 3.
In questo caso si può trovare il numero di disposizioni anche provando tutti i casi uno per uno:
1) AABBB
2) ABABB
3) ABBAB
4) ABBBA
5) BAABB
6) BABAB
7) BABBA
8) BBAAB
9) BBABA
10) BBBAA
in tutto sono appunto 10 differenti modi di disporre le due palline uguali rispetto alle altre.
Se però avessimo a che fare con numeri più elevati, sarebbe impensabile elencare tutti gli anagrammi uno ad uno.
Si può ricorrere quindi a questa formula:
$\text(numero di anagrammi) = {n!}/{a_1 ! * a_2 ! * a_3 ! * a_4 ! * .....* a_i ! }$
Dove $n$ è il numero di lettere di cui è composta la parola;
$a_1 , a_2$ ecc... indicano il numero di volte in cui compare la prima lettera, il numero di volte in cui compare la seconda e così via.
La parola AABBB è formata da 5 lettere, la A si ripete 2 volte, la B si ripete 3 volte. Quindi:
$\text(numero di anagrammi di AABBB) = {5!}/{2! * 3!}={5*4*3*2}/{2*3*2}=10$
Infatti è come se rappresentassimo con A una delle due palline con lo stesso colore, e con B le altre 3.
In questo caso si può trovare il numero di disposizioni anche provando tutti i casi uno per uno:
1) AABBB
2) ABABB
3) ABBAB
4) ABBBA
5) BAABB
6) BABAB
7) BABBA
8) BBAAB
9) BBABA
10) BBBAA
in tutto sono appunto 10 differenti modi di disporre le due palline uguali rispetto alle altre.
Se però avessimo a che fare con numeri più elevati, sarebbe impensabile elencare tutti gli anagrammi uno ad uno.
Si può ricorrere quindi a questa formula:
$\text(numero di anagrammi) = {n!}/{a_1 ! * a_2 ! * a_3 ! * a_4 ! * .....* a_i ! }$
Dove $n$ è il numero di lettere di cui è composta la parola;
$a_1 , a_2$ ecc... indicano il numero di volte in cui compare la prima lettera, il numero di volte in cui compare la seconda e così via.
La parola AABBB è formata da 5 lettere, la A si ripete 2 volte, la B si ripete 3 volte. Quindi:
$\text(numero di anagrammi di AABBB) = {5!}/{2! * 3!}={5*4*3*2}/{2*3*2}=10$
Scusa milizia, potresti spiegarmi una cosa?
Io nel primo post ho commesso un errore, il risultato non viene ricontrollando bene i conti, comunque volevo capire perchè il modo di scegliere l'ultima pallina è solo 3. Ecco io ho ragionato così: siccome ho 4 palline differenti io potrei scegliere l'ultima pallina in 3*4 (le tre palline rimanenti dei colori usciti) modi, ma così il risultato non viene.
Io nel primo post ho commesso un errore, il risultato non viene ricontrollando bene i conti, comunque volevo capire perchè il modo di scegliere l'ultima pallina è solo 3. Ecco io ho ragionato così: siccome ho 4 palline differenti io potrei scegliere l'ultima pallina in 3*4 (le tre palline rimanenti dei colori usciti) modi, ma così il risultato non viene.
"milizia96":
Inoltre abbiamo: 32 possibilità per scegliere la prima pallina;
28 per scegliere la seconda;
24 per la terza;
20 per la quarta;
3 per quella che si ripete.
Non ho capito, perché 28 possibilità per la seconda, 24 per la terza.. ecc?
"milizia96":
Il disporre le due palline uguali rispetto alle altre tre, possiamo dire che equivale, ad esempio, a trovare tutti gli anagrammi(anche quelli senza significato) di AABBB.
in tutto sono appunto 10 differenti modi di disporre le due palline uguali rispetto alle altre.
Ok mi sta bene, ma le nostre palline dello stesso colore non sono solo 2, sono 4, quindi non dovremmo moltiplicare il risultato ottenuto per 2? Se chiamiamo con $A_1 , A_2 , A_3 , A_4$ le 4 palline dello stesso colore allora non dovrò anagrammare $A_1A_2BBB$ e $A_3A_4BBB$ ?
"bibbolo":
ma le nostre palline dello stesso colore non sono solo 2, sono 4
Io stavo considerando esclusivamente le palline che vengono estratte.
"bibbolo":
perché 28 possibilità per la seconda, 24 per la terza.. ecc?
"giannirecanati":
volevo capire perché il modo di scegliere l'ultima pallina è solo 3.
Immaginiamo di aver già estratto le 5 palline. Noi potremmo tranquillamente ordinarle come preferiamo, tanto questo non influenza il risultato dell'estrazione. Quindi supponiamo di ordinarle in modo da mettere le tre palline diverse tra loro in posizione 1,2 e 3, mentre le due palline uguali per ultime, cioè rispettivamente in quarta e quinta posizione.
Possiamo fare questo ragionamento perché abbiamo già considerato separatamente (con gli anagrammi) il "vero ordine" di estrazione.
Come è ovvio, la prima pallina può essere scelta tra 32.
Ora la seconda deve essere diversa dalla prima, e ce ne sono solo 28 che non sono dello stesso colore della prima.
La terza deve essere diversa sia dalla prima, che dalla seconda: possiamo scegliere tra 24
Lo stesso ragionamento per la quarta, che può essere scelta tra 20.
La quinta è dello stesso colore della quarta, e può essere scelta tra 3, perché una uguale è stata già pescata.
Sono riuscito a risolvere i vostri dubbi o avete ancora qualche incertezza?
Grazie, adesso è chiaro. 
Ciao Francesco scusa il ritardo con cui rispondo. Comlpimenti, spiegazione chiara ed esaustiva e considerando che hai 15 anni complimenti al quadrato! 
p.s. quindi generalizzando, il calcolo delle probabilità in questi casi è dato da: $ \frac{text{casi favorevoli}*\text{disposizioni}}{text{casi possibili}} = \frac{text{casi favorevoli}*\{n!}/{a_1 ! * a_2 ! * a_3 ! * a_4 ! * .....* a_i ! }}{text{casi possibili}} $
Giusto?
p.s. quindi generalizzando, il calcolo delle probabilità in questi casi è dato da: $ \frac{text{casi favorevoli}*\text{disposizioni}}{text{casi possibili}} = \frac{text{casi favorevoli}*\{n!}/{a_1 ! * a_2 ! * a_3 ! * a_4 ! * .....* a_i ! }}{text{casi possibili}} $
Giusto?
La formula che hai scritto non mi sembra del tutto corretta.
La probabilità è sempre e comunque data dal rapporto $text(casi favorevoli)/text(casi possibili)$.
In questo problema calcolare le possibili disposizioni contribuisce a calcolare il numero di casi favorevoli, e non è da considerare un "fattore a sé stante".
Comunque a mio avviso per riuscire bene nel calcolo della probabilità (ma anche in altri tipi di problemi) non è né necessario né sufficiente imparare a memoria delle formule pronte all'uso: con un po' di ragionamento si può risolvere qualsiasi tipo di problema.
La probabilità è sempre e comunque data dal rapporto $text(casi favorevoli)/text(casi possibili)$.
In questo problema calcolare le possibili disposizioni contribuisce a calcolare il numero di casi favorevoli, e non è da considerare un "fattore a sé stante".
Comunque a mio avviso per riuscire bene nel calcolo della probabilità (ma anche in altri tipi di problemi) non è né necessario né sufficiente imparare a memoria delle formule pronte all'uso: con un po' di ragionamento si può risolvere qualsiasi tipo di problema.
Sì, effettivamente hai ragione..
Se volessi invece trovare solo tre palline uguali e due diverse allora, secondo il ragionamento visto precedentemente, dovrei fare (32*28*24*3*2*10)/(32*31*30*29*28)?
Se volessi invece trovare solo tre palline uguali e due diverse allora, secondo il ragionamento visto precedentemente, dovrei fare (32*28*24*3*2*10)/(32*31*30*29*28)?
Sì, dovrebbe essere giusto.
Uhm, non so mi sa che non ci siamo, perché facendo i calcoli viene 5,33% e invece deve venire 6,18%
\(\displaystyle 8 \binom{5}{3} \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 28 \cdot 24}{32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28} \sim 0.0533 \)
Risulta circa il 5.33% pure a me
Ma chiaramente potrei aver fatto errori.
Risulta circa il 5.33% pure a me
Ma chiaramente potrei aver fatto errori.
E' strano, se i calcoli sono giusti 0,85 punti percentuali non sono pochi..
Ma dove hai trovato quel risultato? E la prima parte risultava giusta? Il testo è quello?
Quel risultato è riportato in una tabella di un libro sul poker; la probabilità di avere 2 palline colorate nell'esempio che abbiamo visto è esattamente quella di avere una coppia servita giocando a 5 carte con mazzo di 32, ed infatti con i calcoli fatti col tuo ragionamento la percentuale riportata corrisponde perfettamente. Volevo fare lo stesso ragionamento per calcolare anche il tris e gli altri punteggi, in particolare mi serve capire il procedimento e trovare riscontro nei risultati per poter calcolare le percentuali anche con un mazzo di 36 carte.
Esatto la tabella è quella, però non spiega come si arriva a quei risultati, né riporta le percentuali nel caso di un mazzo a 36 carte..
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