Calcolo delle probabilità
Ciao a tutti.
Vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente quesito:
Ho un sacchetto con 32 palline colorate. Ci sono 4 palline dello stesso colore per ogni colore, per un totale di 8 colori diversi.
Qual è la probabilità (in termini di percentuale) che estraendo 5 palline dal sacchetto io mi ritrovi soltanto due palline dello stesso colore?
Mi interessa sapere, oltre al risultato, il procedimento e la formula applicata.
Vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente quesito:
Ho un sacchetto con 32 palline colorate. Ci sono 4 palline dello stesso colore per ogni colore, per un totale di 8 colori diversi.
Qual è la probabilità (in termini di percentuale) che estraendo 5 palline dal sacchetto io mi ritrovi soltanto due palline dello stesso colore?
Mi interessa sapere, oltre al risultato, il procedimento e la formula applicata.
Risposte
Il 5.3% risulta però
E' vero, ma dal libro da cui ho preso la tabella deve risultare 6,18% (per un totale di 12437 combinazioni diverse per avere un tris in partenza). E' strano che la percentuale della coppia coincida (non ha considerato solo lo 0,3), così come coincidono tutte le altre, mentre quella del tris si discosti di molto.. ad ogni modo vorrei capire ed avere le formule esatte, perché mi serve creare una tabella con un mazzo di 36 carte..
Questa è quella del tris con 36 carte..
\(\displaystyle \displaystyle 9 \binom{5}{3} \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 32 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \)
Questa è quella delle coppie:
\(\displaystyle \displaystyle 9 \binom{5}{2} \frac{4 \cdot 3 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \)
La doppia coppia è:
\(\displaystyle \displaystyle \binom{9}{2} \cdot \frac{5!}{2\cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \)
Le altre cose non so cosa siano, non gioco a poker xD
\(\displaystyle \displaystyle 9 \binom{5}{3} \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 32 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \)
Questa è quella delle coppie:
\(\displaystyle \displaystyle 9 \binom{5}{2} \frac{4 \cdot 3 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \)
La doppia coppia è:
\(\displaystyle \displaystyle \binom{9}{2} \cdot \frac{5!}{2\cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \)
Le altre cose non so cosa siano, non gioco a poker xD
Scusami Steph purtroppo mi mancano le basi del calcolo combinatorio, potresti spiegarmele passo-passo? Al denominatore si capisce facilmente che sono i casi possibili ed è superfluo rispiegarlo, quel 9 davanti le parentesi tonde che significa? Al numeratore da cose è ricavato quel 4*3?
Nel caso della coppia:
Il colore che si ripete due volte lo puoi scegliere in 9 modi (ci sono 9 colori diversi no?)
Poi le due palle dello stesso colore le puoi disporre nel gruppo di 5 palle in \(\displaystyle \binom{5}{2} = 10\) modi diversi. Stabilito ciò, i casi in cui prendi la prima palla del colore che si ripete due volte sono 4, i casi che prendi la seconda palla dello stesso colore sono 3, i casi che prendi la terza palla di un colore diverso da quello delle due palle uguali son 32, i casi in cui la quarta palla sia colorata in modo diverso son 28 e i casi in cui la quinta palla sia colorata in modo diverso sono 24. L'ordine in cui le prendo non ha importanza visto che qualsiasi sia la disposizione, la probabilità è sempre la stessa, quindi una volta aver moltiplicato per le disposizioni, posso trascusare l'ordine.
E' praticamente la stessa cosa che ti hanno spiegato all'inizio.
Il colore che si ripete due volte lo puoi scegliere in 9 modi (ci sono 9 colori diversi no?)
Poi le due palle dello stesso colore le puoi disporre nel gruppo di 5 palle in \(\displaystyle \binom{5}{2} = 10\) modi diversi. Stabilito ciò, i casi in cui prendi la prima palla del colore che si ripete due volte sono 4, i casi che prendi la seconda palla dello stesso colore sono 3, i casi che prendi la terza palla di un colore diverso da quello delle due palle uguali son 32, i casi in cui la quarta palla sia colorata in modo diverso son 28 e i casi in cui la quinta palla sia colorata in modo diverso sono 24. L'ordine in cui le prendo non ha importanza visto che qualsiasi sia la disposizione, la probabilità è sempre la stessa, quindi una volta aver moltiplicato per le disposizioni, posso trascusare l'ordine.
E' praticamente la stessa cosa che ti hanno spiegato all'inizio.
"bibbolo":
Scusami Steph purtroppo mi mancano le basi del calcolo combinatorio, potresti spiegarmele passo-passo? Al denominatore si capisce facilmente che sono i casi possibili ed è superfluo rispiegarlo, quel 9 davanti le parentesi tonde che significa? Al numeratore da cose è ricavato quel 4*3?
Prova a ragionare cosi, che è piu' intuitivo:
Tris a 36 carte (9 x 4):
Immaginiamo che le prime 3 carte siano quelle del tris (tanto l'ordine non conta):
La prima carta puoi sceglierla tra una delle 36 carte, la seconda puo' solo essere una delle 3 dello stesso valore, la terza una delle 2 dello stesso valore. L'ordine di uscita delle 3 carte non ci interessa (3!).
I possibili tris sono: $(36*3*2) / (3!) = 36$
Infatti puoi fare 4 tris diversi con i 4 assi, ed ancora 4 tris diversi con le 4 K, etc, etc [4+4+4......=36]
Passiamo alla 4 e 5 carta:
La quarta può essere una qualsiasi delle 32 carte dei valori diversi (ovviamente ho eliminato la 4^ carta "del possibile poker"), e per evitare il full, la quinta deve essere una delle 28. Anche qui, l'ordine tra la 4^ e la 5^ carta non ci interessa (2!)
Per ognuno dei 36 tris, quindi possiamo avere $(32*28)/2 = 448$ modi per realizzarlo.
Se ti interessa la p. di uscita basta dividere il risultato per i casi poss.
Ok capito il discorso del 9, ma questo non spiega comunque quella percentuale diversa per quanto riguarda il tris..
Per quanto riguarda invece la formula delle doppie coppie non l'ho capita proprio puoi spiegarmela?
Per quanto riguarda invece le altre formule riferite agli altri punti del poker, considerato che non lo conosci, ti spiego lo scenario in relazione all'esempio delle palline colorate:
scala: 5 carte in sequenza (qui la rappresentazione con le palline si fa difficile forse: bisogna mettere 5 palline ognuna con un colore diverso e secondo un determinato ordine; ad esempio il giallo viene dopo il verde, che viene dopo il rosso, ecc.; se le 5 palline sono di colori diversi ma tali che anche uno solo non sia in sequenza allora non si può parlare di scala)
full: 3 palline colorate in un modo e due colorate in un altro
colore: palline tutte di colore diverso ma tali che abbiano tutte lo stesso identificativo (qui è difficile la rappresentazione con le palline: occorre numerare le 4 palline di ogni colore, per esempio da 1 a 4, e ottenere 5 palline colorate diversamente tale che abbiano tutte lo stesso numero identificativo, ad. es. rosso3 - giallo3 - blu3 - verde3 - nero3)
poker: 4 palline dello stesso colore e una qualsiasi
scala reale: 5 palline tutte di colore diverso ma in sequenza e con lo stesso numero identificativo (questa combinazione riunisce i criteri della scala e del colore)
Per quanto riguarda invece la formula delle doppie coppie non l'ho capita proprio puoi spiegarmela?
Per quanto riguarda invece le altre formule riferite agli altri punti del poker, considerato che non lo conosci, ti spiego lo scenario in relazione all'esempio delle palline colorate:
scala: 5 carte in sequenza (qui la rappresentazione con le palline si fa difficile forse: bisogna mettere 5 palline ognuna con un colore diverso e secondo un determinato ordine; ad esempio il giallo viene dopo il verde, che viene dopo il rosso, ecc.; se le 5 palline sono di colori diversi ma tali che anche uno solo non sia in sequenza allora non si può parlare di scala)
full: 3 palline colorate in un modo e due colorate in un altro
colore: palline tutte di colore diverso ma tali che abbiano tutte lo stesso identificativo (qui è difficile la rappresentazione con le palline: occorre numerare le 4 palline di ogni colore, per esempio da 1 a 4, e ottenere 5 palline colorate diversamente tale che abbiano tutte lo stesso numero identificativo, ad. es. rosso3 - giallo3 - blu3 - verde3 - nero3)
poker: 4 palline dello stesso colore e una qualsiasi
scala reale: 5 palline tutte di colore diverso ma in sequenza e con lo stesso numero identificativo (questa combinazione riunisce i criteri della scala e del colore)
Forse è un pò troppo complicato ricaversi le percentuali in base a tali combinazioni?
No, la tecnica è la stessa.. provaci xD
Se lo sapessi fare e non ci avessi già provato non sarei qui a postare per chiedere aiuto..
Scusate se torno su questo argomento che avevo accantonato ma non riesco a venirne a capo.. In questa formula: \(\displaystyle \displaystyle 9 \binom{5}{3} \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 32 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \) , il 5 il 3 e il 9 come interagiscono con gli altri numeri? cioé devo moltiplicare anche il 9 al numeratore insieme agli altri? E il fattoriale qui dove sta?
\(\displaystyle \binom{5}{3}= \frac{5!}{3!2!} = 10 \) E poi fai i conti normalmente.
In generale: \(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \)
In generale: \(\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Ok Steph, capito.. ora potresti spiegarmi questa formula che avevi scritto che riguarda le doppie coppie?
\(\displaystyle \displaystyle \binom{9}{2} \cdot \frac{5!}{2\cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \)
Ho capito le ultime due frazioni ma non ho capito il \( \displaystyle \displaystyle \binom{9}{2} \)
\(\displaystyle \displaystyle \binom{9}{2} \cdot \frac{5!}{2\cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32} \)
Ho capito le ultime due frazioni ma non ho capito il \( \displaystyle \displaystyle \binom{9}{2} \)
Steph ci sei?
In pratica: una volta scelti i due valori che si devono ripetere due volte, la probabilità diventa:
\(\displaystyle \frac{5!}{2\cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}\)
Quindi se ad esempio a ripetersi due volte devono essere gli 8 e i 9, la probabilità che ciò accada la calcoli con la formula di sopra.
Il punto è che a ripetersi non devono essere due valori specifici, ma vanno bene tutte le coppie di valori che si ripetono due volte. E naturalmente per ogni coppia di valori che si devono ripetere la probabilità che ciò accada è sempre la stessa (quella scritta sopra). Per cui moltiplichi quello che ho scritto sopra per il numero di coppie di valori che devono ripetersi..
Il modo con cui calcoli in quanti modi puoi prendere due valori distinti equivale a in quanti modi puoi estrarre due elementi da un insieme di 9 elementi.. Il primo lo scegli in 9 modi, per ognuno dei 9 modi in cui hai scelto il primo, il secondo lo scegli in 8 modi, però l'ordine non conta quindi se peschi prima il secondo e poi il primo è uguale, quindi dividi per 2. In sostanza: \(\displaystyle \frac{9 \cdot 8}{2} = \frac{9!}{7!\cdot 2!}= \binom{9}{2} \)..
Spero di essere stato chiaro.
\(\displaystyle \frac{5!}{2\cdot 2} \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 28}{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}\)
Quindi se ad esempio a ripetersi due volte devono essere gli 8 e i 9, la probabilità che ciò accada la calcoli con la formula di sopra.
Il punto è che a ripetersi non devono essere due valori specifici, ma vanno bene tutte le coppie di valori che si ripetono due volte. E naturalmente per ogni coppia di valori che si devono ripetere la probabilità che ciò accada è sempre la stessa (quella scritta sopra). Per cui moltiplichi quello che ho scritto sopra per il numero di coppie di valori che devono ripetersi..
Il modo con cui calcoli in quanti modi puoi prendere due valori distinti equivale a in quanti modi puoi estrarre due elementi da un insieme di 9 elementi.. Il primo lo scegli in 9 modi, per ognuno dei 9 modi in cui hai scelto il primo, il secondo lo scegli in 8 modi, però l'ordine non conta quindi se peschi prima il secondo e poi il primo è uguale, quindi dividi per 2. In sostanza: \(\displaystyle \frac{9 \cdot 8}{2} = \frac{9!}{7!\cdot 2!}= \binom{9}{2} \)..
Spero di essere stato chiaro.
Ok, penso di aver capito.. adesso mi serve sapere, sempre su un totale di 36 carte, la probabilità di ottenere:
- [*:2mgjuuld]5 elementi tutti diversi tra loro presi su un totale di 9 elementi e tali che siano in sequenza ordinata; il numero totale di queste sequenze ordinate è 6
[/*:m:2mgjuuld]
[*:2mgjuuld]un tris e una coppia insieme su un totale di 9 elementi (esempio: 999AA, KKKQQ, ecc..)
[/*:m:2mgjuuld]
[*:2mgjuuld]5 elementi dello stesso tipo (colore), sapendo che per ogni quartetto dei 9 elementi (4 assi, 4 K, 4 nove, ecc..) ce n'è uno solo di un determinato colore (pertanto ovviamente i colori diversi in toale sono 4)
[/*:m:2mgjuuld]
[*:2mgjuuld]5 elementi dello stesso tipo (colore) e che siano in sequenza ordinata; sapendo che le sequenze ordinate sono 6. In totale pertanto potremo avere 24 di questi raggruppamenti (scale reali), cioé 6 per ogni colore.[/*:m:2mgjuuld][/list:u:2mgjuuld]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo