Altri ...problemini
Due esercizietti ...abbordabili da tutti
1)Sia f:Q->Q tale che risulti :
$f(2x^2+y^2)=2f(x^2)+f(y^2)-100$
Determinare l'espressione analitica di f(x) sapendo che e' f(100)=200
2)Nel triangolo ABC l'angolo in A e' ampio 70° ed inoltre e'
AI+AC=BC essendo I l'incentro di ABC
Determinare le ampiezze degli altri due angoli del triangolo.
Buon divertimento...
karl
1)Sia f:Q->Q tale che risulti :
$f(2x^2+y^2)=2f(x^2)+f(y^2)-100$
Determinare l'espressione analitica di f(x) sapendo che e' f(100)=200
2)Nel triangolo ABC l'angolo in A e' ampio 70° ed inoltre e'
AI+AC=BC essendo I l'incentro di ABC
Determinare le ampiezze degli altri due angoli del triangolo.
Buon divertimento...
karl
Risposte
2) Sia A' un punto del lato BC tale che AC= CA'.
Inoltre IA' = AI dato che CI è la bisettrite del triangolo isoscele AA'C. Allora IA' = A'B e dunque il triangolo IA'B è isoscele.
Ragionando sugli angoli:
CA'I =IAC =35°
ABC = A'IB+A'BI =CA'I =35° per il teorema dell'angolo esterno.
Infine, ACB = 75°.
Salvo errori.
Inoltre IA' = AI dato che CI è la bisettrite del triangolo isoscele AA'C. Allora IA' = A'B e dunque il triangolo IA'B è isoscele.
Ragionando sugli angoli:
CA'I =IAC =35°
ABC = A'IB+A'BI =CA'I =35° per il teorema dell'angolo esterno.
Infine, ACB = 75°.
Salvo errori.
Bene Piera.
Per il secondo esercizio basterebbe notare com'e' scritta la relazione per
poter ragionare ...con linearita'
karl
Per il secondo esercizio basterebbe notare com'e' scritta la relazione per
poter ragionare ...con linearita'
karl
Per caso $f(x)=3/2x+50$?
Sì, anch'io ho trovato quella.
Se poniamo $x^2,y^2=0$ abbiamo $f(0)=50$.
Ponendo y^2=x^2 abbiamo $f(3x^2)=3(f(x^2)-100.
Ponendo y^2=0 abbiamo $f(2x^2)=2f(x^2)-50.
Ricorsivamente (ponendo $y^2=3x^2, y^2=2x^2$) si nota come debba essere $f(n*x^2)=nf(x^2)-(n-1)*50.
Una funzione con tal proprietà dovrebbe essere $f(x)=ax-100*b$ con i coefficienti determabili dalle condizioni al contorno.Infatti sostituendo i valori di $f(0)$ e $f(100)$ nele'equazione si trova $a=3/2$ e $b=-1/2$.Quindi $f(x)=3/2x+50$.
Ora la cosa che mi lascia perplesso è che non ho dimostrato che per essere $f(n*x)=n(f(x))$ necessariamente f(x)=x.Quindi cio che ho fatto è giusto o sbagliato?
Ponendo y^2=x^2 abbiamo $f(3x^2)=3(f(x^2)-100.
Ponendo y^2=0 abbiamo $f(2x^2)=2f(x^2)-50.
Ricorsivamente (ponendo $y^2=3x^2, y^2=2x^2$) si nota come debba essere $f(n*x^2)=nf(x^2)-(n-1)*50.
Una funzione con tal proprietà dovrebbe essere $f(x)=ax-100*b$ con i coefficienti determabili dalle condizioni al contorno.Infatti sostituendo i valori di $f(0)$ e $f(100)$ nele'equazione si trova $a=3/2$ e $b=-1/2$.Quindi $f(x)=3/2x+50$.
Ora la cosa che mi lascia perplesso è che non ho dimostrato che per essere $f(n*x)=n(f(x))$ necessariamente f(x)=x.Quindi cio che ho fatto è giusto o sbagliato?
Secondo me dovresti giustificare perché "una funzioni con tali proprietà...".
Io ho generalizzato a $f(n/m x^2)=nf(x^2/m)-50(n-1)$, poi seguito un'altra strada.
Io ho generalizzato a $f(n/m x^2)=nf(x^2/m)-50(n-1)$, poi seguito un'altra strada.
"TomSawyer":
Secondo me dovresti giustificare perché "una funzioni con tali proprietà...".
Io ho generalizzato a $f(n/m x^2)=nf(x^2/m)-50(n-1)$, poi seguito un'altra strada.
Posso chiederti quale strada hai seguito?
Ho posto $x=1$, così mi rimaneva $f(n/m)=nf(1/m)-50(n-1)$, quindi serve calcolare solo $f(1/m)$. E per fare ciò basta porre $x=10$ in $f(x^2)=nf(x^2/n)-50(n-1)$ e si trova $f(100/n)=150/n+50 \implies f(1/m)=3/(2m)+50$.
Grazie per la risposta.
Perdonami se continuo a fare domande ma non sono per niente pratico di questo tipo di esercizi; se non è troppo disturbo potresti chiarirmi un'altra cosa: questa generalizzazione a cui sei giunto la trovi per via sperimentale (cioè notando che per vari $y=a/bx$ si ha il comportamento dettato dalla formula che hai scritto) o la trovi in altro modo.
"TomSawyer":
Secondo me dovresti giustificare perché "una funzioni con tali proprietà...".
Io ho generalizzato a $f(n/m x^2)=nf(x^2/m)-50(n-1)$, poi seguito un'altra strada.
Perdonami se continuo a fare domande ma non sono per niente pratico di questo tipo di esercizi; se non è troppo disturbo potresti chiarirmi un'altra cosa: questa generalizzazione a cui sei giunto la trovi per via sperimentale (cioè notando che per vari $y=a/bx$ si ha il comportamento dettato dalla formula che hai scritto) o la trovi in altro modo.
Per via sperimentale ho notato quella proprietà, che poi può essere dimostrata per induzione, con noiosi calcoli.
Ti dò l'idea per $f(nx^2)=nf(x^2)-50(n-1)$, per $n \in NN, n > 0$ (dato che non ho voglia di scrivere i dettagli dell'altra). Vera per $n=1$, quindi la supponiamo vera anche per tutti gli interi $\le n-1$. Allora $f(nx^2)=f(2x^2+(n-2)x^2)=2f(x^2)+f((n-2)x^2)-100=2f(x^2)+(n-2)f(x^2)-50(n-3)-100=nf(x^2)-50(n-1)$. La si può dimostrare nella stessa maniera anche per $n < 0$, considerando $y \in CC$.
Ti dò l'idea per $f(nx^2)=nf(x^2)-50(n-1)$, per $n \in NN, n > 0$ (dato che non ho voglia di scrivere i dettagli dell'altra
). Vera per $n=1$, quindi la supponiamo vera anche per tutti gli interi $\le n-1$. Allora $f(nx^2)=f(2x^2+(n-2)x^2)=2f(x^2)+f((n-2)x^2)-100=2f(x^2)+(n-2)f(x^2)-50(n-3)-100=nf(x^2)-50(n-1)$. La si può dimostrare nella stessa maniera anche per $n < 0$, considerando $y \in CC$.
Ok. Grazie per i chiarimenti.
Rieccome quà...perdonami se sono duro di comprendorio, ma il principio di induzione come lo uso per la formula
$f(n/m x^2)=nf(x^2/m)-50(n-1)$
se questo principio vale solo per i numeri naturali mentre $n/m$ è un razionale.
$f(n/m x^2)=nf(x^2/m)-50(n-1)$
se questo principio vale solo per i numeri naturali mentre $n/m$ è un razionale.
Per karl.
Dato che imparare non fa mai male, se hai risolto diversamente da blackdie e TomSawyer, puoi mostrare come hai risolto tu?
Dato che imparare non fa mai male, se hai risolto diversamente da blackdie e TomSawyer, puoi mostrare come hai risolto tu?
Spero che karl non abbia abbandonato questo problema 
. Comunque, WiZaRd, poi ho proseguito con l'induzione su $m$, dato che per $m=1$ è vera.
. Comunque, WiZaRd, poi ho proseguito con l'induzione su $m$, dato che per $m=1$ è vera.
"TomSawyer":
Comunque, WiZaRd, poi ho proseguito con l'induzione su $m$, dato che per $m=1$ è vera.
Quindi hai usato l'induzione sia su $m$ che su $n$?
Sì.. Comunque, avrei da chiedere a karl il dominio di $x,y$.. Essendo che non ha specificato, il dominio l'ho considerato arbitrario ($RR,CC$, ma sempre con la restrizione che $x^2,y^2 \in QQ$). Però potrebbe darsi il caso che lui intendesse $x,y \in QQ$.
Veramente il dominio l'ho scritto f:Q->Q.Forse non va bene scritto così?
Quanto alla risoluzione non ho molto da aggiungere a quello che avete trovato voi.
In definitiva a me e' sembrato che ,per come e' scritta l'equazione,fosse chiara
la dipendenza lineare della funzione dalla indeterminata .
Poi leggendo voi mi sono venuti un sacco di dubbi...
karl
Quanto alla risoluzione non ho molto da aggiungere a quello che avete trovato voi.
In definitiva a me e' sembrato che ,per come e' scritta l'equazione,fosse chiara
la dipendenza lineare della funzione dalla indeterminata .
Poi leggendo voi mi sono venuti un sacco di dubbi...
karl
Quindi se possiamo considerare anche $x,y \in CC$, allora la funzionale diventerebbe $f(2x+y)=2f(x)+y-100$, con $x,y \in QQ$, che rende più chiara la dipendenza lineare della funzione dalla indeterminata. Bel problema, comunque.
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