Alla fiera dell'est (I)

[orsoulx]

Aleksej Aleksandrovich Comvoldim (Alex per gli amici), grande matematico del XIX secolo, dopo esser stato a lungo alla corte dei Romanov, era caduto in disgrazia (ma questa è un’altra storia) e viveva a Baku. Le leggende locali narrano di una singolare contrattazione, avvenuta alla fiera di settembre, fra il nostro ed un venditore, suo amico, per l’acquisto di un tessuto.
A – “Mi servono 4 arshin di quel lino di fiandra. Ho del pesce affumicato di ottima qualità, possiamo fare uno scambio?”
V – “Certo! Visto che sei tu, facciamo 1000 once di pesce.”
A – “Dai! Sai che ho delle difficoltà economiche. Fammi un po’ di sconto.”
V – “Vabbe’, ti accontento, ma lo sconto te lo devi guadagnare. Ho un problema con una soluzione interessante: ti faccio 400 once all’arshin.”
A – “Alla faccia dello sconto! Mi stai prendendo in giro?
V – “No. Devo ancora spiegarti quale lunghezza misureremo. Tagliamo la stoffa, poi tu la dividi lungo una diagonale e dipingi una delle metà, usando, come ti pare più conveniente, al massimo tre colori (senza sovrapporli per inventarti tonalità diverse). Io cercherò la coppia di punti più lontani del medesimo colore: mi darai 400 once per ogni arshin di questa distanza.”
A – “Mi sembra un problema interessante, ma ho due dubbi: posso lasciare una parte in bianco? Cosa me ne faccio di una tela tagliata e dipinta?”
V – “Sì, puoi lasciare della stoffa non colorata, naturalmente io potrò considerare anche distanze fra due punti bianchi. Per il secondo...beh! Svegliati, puoi, ovviamente, farti un disegno in scala esatta e useremo quello.
A – “Quanto è alta la stoffa?”
V – “Chi ti impedisce di misurarla? Laggiù usano i piedi fiamminghi.“
Aleksej, mostro ancora una volta la sua bravura: risolse il problema nel migliore dei modi e guadagnò uno sconto del 20% esatto.
Sapete rispondere all’ultima domanda del matematico?
Ciao

[axpgn]

Solo capire il problema mi è costata tanta fatica (ammesso che l'abbia compreso ), figurati trovare la risposta ...

Vuoi sapere quant'è alta la stoffa? Con tre colori arrivo [strike]sicuramente a $2$ arshin[/strike], di più non credo ...
Errore, per adesso non arrivo a $2$ ...

EDIT:

Con tre colori l'altezza della stoffa è (almeno) $1.5$ arshin ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

I 'colori' utilizzabili sono tre più il nulla (tessuto lasciato nel suo originario candore).
Ciao

[orsoulx]

@Alex,

a me, senza lasciare parti della tela intonse, viene quasi 1.96 arshin

Ciao

[axpgn]

"orsoulx":@Alex,

a me, senza lasciare parti della tela intonse, viene quasi 1.96 arshin

Ciao

Infatti ho scritto "almeno" $1.5$ quindi è giusta ... ... nella prima versione ero addirittura sicuro che fosse $2$ ...

Va beh, ci riproveremo ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Con tre colori + il bianco sono arrivato almeno a $2.309$ cioè $4/sqrt(3)$ ma penso si possa far meglio ...

EDIT:

Sono arrivato ad un'altezza di circa $3.1$ ... di più non so ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex,
Vedo che hai cambiato costruzione.

Se non ho sbagliato i calcoli dovrebbe essere una briciola più di 3.2

Ciao

[axpgn]

"orsoulx":... Vedo che hai cambiato costruzione.

... e come l'hai "vista" ?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

"axpgn": ... e come l'hai "vista" ?

Ho notato che una collega di @melia buttava nella campana del vetro una sfera di cristallo. L'ho recuperata, perché tale smaltimento (almeno dove abito) non è corretto. Mi sono accorto che era opaca ed ho provato, con una buona dose di olio di gomito, a farla tornare lucida. Ci sono riuscito e, a parte qualche fastidioso alone, ora funziona.
Ciao

[veciorik]

Ecco il mio disegno con relativa spiegazione.
La soluzione coincide con la prima di orsoulx.
Non mi pare che l'ultima di axpgn vada bene.

Metà tela è un triangolo rettangolo con cateto base 4 e cateto altezza $x$ da trovare.
La massima distanza tra 2 punti omocromatici deve valere 2 arshin per ottenere lo sconto del 20%.
Se i tre vertici avessero tre colori diversi, il punto medio M dell'ipotenusa (diagonale della tela), equidistante dai tre vertici più di 2 arshin, dovrebbe avere un quarto colore: impossibile.
Quindi i vertici B e C sull'altezza hanno lo stesso colore e distanza $ x \le 2 $.
Se fosse $ x=2 $ i punti della base prossimi a B avrebbero un colore diverso da C, ossia anche da B, pertanto uguale a M, che è diverso da A come già detto. Ma sono troppo distanti dal confine tra A e M sull'ipotenusa.
Quindi $ x < 2 $ e approssimativamente \( x \sim 1.9580...\)

[orsoulx]

@veciorik:
per la soluzione con tre colori. Il problema è in realtà complicato dalla possibilità di poterne usare sostanzialmente quattro: tre colori più parti della tela non colorate.
Ciao