Aiuto per un esercizio

[lunatica]

In questi giorni mi sono imbattuto in questo semplice esercizio che però non so risolvere. Potreste spiegarmi i passaggi per la risoluzione? Grazie

Dimostrare che, se $p$ è un numero primo, allora $7p+3^p-4$ non e' mai un quadrato perfetto.


Grazie

[lunatica]

uffi non ci sto a capire niente...che parità può assumere?

[lunatica]

è la prima volta che mi cimento con questi problemi...

[lunatica]

..

[_luca.barletta]

comunque prima di affrontare qualsiasi esercizio ti consiglio anzitutto di studiare l'aritmetica modulare, senza solide basi non si va molto lontano

[lunatica]

ok, ma mi puoi spiegare questo esercizio...come lo devo risolvere?

[lunatica]

mi puoi dire che parità può assumere?

[TomSawyer1]

n può essere solo pari (togliendo il caso banale in cui p=2), visto che hai 7p+3^p-4, cioè dispari+dispari-pari.

[lunatica]

io ero arrivato al punto che poteva essere solo pari e che l'ultima cifra doveva essere o 2 o 4 o 6. E' giusto fin qui? Come faccio a dire che non può essere un quadrato perfetto?

Grazie a tutti per le risposte

[TomSawyer1]

Comunque, ti lascio per esercizio dimostrare che $p$ deve essere della forma $p=4k+1$. Da qui hai che $3^{4k+1}+28k+7-4\equiv -1+0+3+0 = 2 (mod4)$. Ma $2$ non è mai un residuo quadratico modulo 4, quindi abbiamo finito.

[son Goku1]

per assurdo poniamo che $7p+3^p-4=k^2$ allora $7p+3^p=k^2-4=(k+2)(k-2)$ ponendo y=k+2 otteniamo l'assurdo che $7p+3^p=y(y-4)$.
wahoa! senza l'uso dell'aritmetica modulare...

[_luca.barletta]

"son Goku": allora $7p+3^p=k^2-4=(k+2)(k-2)$

allora $7p+3^p=k^2+4ne(k+2)(k-2)$

[son Goku1]

devo aver letto male.

[lunatica]

"TomSawyer":Comunque, ti lascio per esercizio dimostrare che $p$ deve essere della forma $p=4k+1$. Da qui hai che $3^{4k+1}+28k+7-4\equiv -1+0+3+0 = 2 (mod4)$. Ma $2$ non è mai un residuo quadratico modulo 4, quindi abbiamo finito.

allora p può essere $p -=1 (mod 4)$ e quindi si può esplicitare come $4K+1$...
però se non sbaglio si può avere anche che $p -=3 (mod 4)$ quindi dobbiamo anche analizzare il caso in cui $p$ si può esplicitare come $4k+3$. Sbaglio o è corretto...?

[TomSawyer1]

Sì, era questo il senso della mia frase. Dimostra intanto che $p$ non può essere della forma $4k+3$, poi basta concludere come ho fatto io prima, per i $p=4k+1$.

Comunque, prima di cercare di risovere questi problemi, ti consiglio di andare a imparare un po' di aritmetica modulare, che in questi casi è più utile di qualsiasi altro strumento.