Aiuto per un esercizio
In questi giorni mi sono imbattuto in questo semplice esercizio che però non so risolvere. Potreste spiegarmi i passaggi per la risoluzione? Grazie
Dimostrare che, se $p$ è un numero primo, allora $7p+3^p-4$ non e' mai un quadrato perfetto.
Grazie
Dimostrare che, se $p$ è un numero primo, allora $7p+3^p-4$ non e' mai un quadrato perfetto.
Grazie
Risposte
non sono molto bravo in questi giochini...ma credo che un quadrato perfetto sia divisibile per 4 o se nella divisione per quattro da come resto 1...se p è un numero pirmo queste condizioni non si verficano (intuitivamente dico ciò...credo che per dimostrarlo servirebbero i moduli ma non li conosco teoricamente quindi lascio ad altri il compito - amesso che non stia dicendo solo fesserie)....il trinomio non è un quadrato perfetto
provo a fare meglio...
allora...i quadrati perfetti o sono quadrati di numeri pari, nel qual caso si ha $(2k)^2=4k^2$, o sono i quadrati dei numeri dispari, nel qual caso si ha $(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1$.
nel primo caso, nella divisione per $4$ il qudrato perfetto da come resto $0$ e quindi è divisibile esattamente per $4$; nel secondo caso nella divisione per $4$ da come resto $1$.
nel trinomio proposto, $7p+3^p-4$ si deve quindi verificare che, diviso il trinomio per $4$ il resto sia $0$ oppure $1$.
ora, distribuendo il $4$ tra i vari addendi si vede subito che il problema è stabilire la divisibilità o meno dei primi due addendi per $4$, dal momento che $4$ è multiplo di $4$ secondo $1$
quindi, eliminiamo il caso limite cioè $p=1$: in tal caso il trinomio vale $6$ che non è divisibile per 4 ne dà resto $1$ nella divisione per questo
se $p \ne 1$ allora osserviamo che $7$ nella divisione per $4$ da come resto $3$ che moltiplicato per un primo $p>1$ da un resto ancora maggiore di $1$
osserviamo poi che $3^p$ è una potenza di $3$: le potenze di $3$ sono dispari e quindi, ancora, divise per $4$ danno resto $1$ o $2$ o $3$, ma avendo già un resto che è maggiore di $1$ nessuno di questi resti è accettabile, quindi la tesi
spero di non avere storpiato la matematica...qualora lo avessi fatto chiedo scusa a tutti
allora...i quadrati perfetti o sono quadrati di numeri pari, nel qual caso si ha $(2k)^2=4k^2$, o sono i quadrati dei numeri dispari, nel qual caso si ha $(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1$.
nel primo caso, nella divisione per $4$ il qudrato perfetto da come resto $0$ e quindi è divisibile esattamente per $4$; nel secondo caso nella divisione per $4$ da come resto $1$.
nel trinomio proposto, $7p+3^p-4$ si deve quindi verificare che, diviso il trinomio per $4$ il resto sia $0$ oppure $1$.
ora, distribuendo il $4$ tra i vari addendi si vede subito che il problema è stabilire la divisibilità o meno dei primi due addendi per $4$, dal momento che $4$ è multiplo di $4$ secondo $1$
quindi, eliminiamo il caso limite cioè $p=1$: in tal caso il trinomio vale $6$ che non è divisibile per 4 ne dà resto $1$ nella divisione per questo
se $p \ne 1$ allora osserviamo che $7$ nella divisione per $4$ da come resto $3$ che moltiplicato per un primo $p>1$ da un resto ancora maggiore di $1$
osserviamo poi che $3^p$ è una potenza di $3$: le potenze di $3$ sono dispari e quindi, ancora, divise per $4$ danno resto $1$ o $2$ o $3$, ma avendo già un resto che è maggiore di $1$ nessuno di questi resti è accettabile, quindi la tesi
spero di non avere storpiato la matematica...qualora lo avessi fatto chiedo scusa a tutti
"WiZaRd":
se $p \ne 1$ allora osserviamo che $7$ nella divisione per $4$ da come resto $3$ che moltiplicato per un primo $p>1$ da un resto ancora maggiore di $1$
osserviamo poi che $3^p$ è una potenza di $3$: le potenze di $3$ sono dispari e quindi, ancora, divise per $4$ danno resto $1$ o $2$ o $3$, ma avendo già un resto che è maggiore di $1$ nessuno di questi resti è accettabile, quindi la tesi
spero di non avere storpiato la matematica...qualora lo avessi fatto chiedo scusa a tutti
1?
Non capisco, vuoi dire che $7p+3^p$ non è divisibile per 4?
per luca
sì...dove sta l'orrore?
sì...dove sta l'orrore?
1 non è un numero primo.
Poi pensavo a p=3: 7*3+3^3=21+27=48
Poi pensavo a p=3: 7*3+3^3=21+27=48
giusto...e allora dov'è che l'ho sparata grossa?
P.S.: quanto all'1 a scuola ci hanno insegnato che è primo....perchè non lo è?
P.S.: quanto all'1 a scuola ci hanno insegnato che è primo....perchè non lo è?
i resti li puoi sommare, ma devi tener conto che anche loro si sommano modulo 4
e allora chiedo scusa a kaioshin e a tutti gli utenti del forum per la mia presunzione....potete anche eliminare i miei post...non conosco i moduli e quindi non posso andare avanti...mi spiace
ciao
ciao
dai, non ti mortificare così, capita a tutti di sbagliare 
Per quanto riguarda i primi: http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html
Per quanto riguarda i primi: http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumber.html
non fa niente wizard...c'è qualcuno che mi può aiutare?
Ho anche una domanda: $-4 -=? (3)$ e $-4 -=? (6)$.
Come devo fare?
Ho anche una domanda: $-4 -=? (3)$ e $-4 -=? (6)$.
Come devo fare?
$-4-=0 (mod4)$, $-4-=2 (mod6)$, volevi sapere questo?
si volevo sapere questo...
cmq come posso fare a risolverlo?
Potresti cominciare a fare qualche considerazione sulle parità
io ho solo dedotto che p può essere 2 o un numero dispari...per 2 non si ottiene un quadrato perfetto e quindi p è senz'altro dispari. Se p è dispari 7p è dispari e $3^p$ è dispari...e qui io non so come andare avanti...
stai andando bene... quindi n come deve essere?
cosa è n?
$7p+3^p-4=n^2$
vabbe n può essere o dispari o pari...o sbaglio?
ma per le considerazioni fatte in precedenza che parità può assumere?
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