Affinità

Fai una domanda Tutte le categorie

Tul1

19 feb 2009, 00:06

Ogni tanto qualcuno risolve qualche problema di tipo olimpico tirando fuori l'affinità o la trasformazione affine; qualcuno saprebbe spiegarmi in parole povere, e magari con un esempio pratico, di cosa si tratta esattamente? Quali sono le sue proprietà? Su internet si trovano guide molto confuse, se qualcuno sapesse indicarmene una che ritiene buona, mi aiuterebbe parecchio! Grazie!

Risposte

Gauss91

19 feb 2009, 18:17

Dunque, è molto semplice: sia $xOy$ un piano cartesiano con origine nel punto $O$: un'affinità è una trasformazione geometrica che manda ogni punto $(x;y)$ nel punto $(ax+by+e ; cx+dy+f)$ con $a,b,c,d, e, f$ parametri dati o scelti. L'unica condizione da rispettare affinché questa sia un'affinità, è che $Delta = ad - bc$ sia diverso da $0$. Qualsiasi affinità manda rette in rette (di conseguenza segmenti in segmenti), angoli in angoli, e circonferenze in ellissi (o al limite in circonferenze). Le rette parallele rimangono parallele, ma non si conserva né la lunghezza dei segmenti, né l'ampiezza degli angoli.
Una proprietà interessante delle affinità è che, se si ha un poligono con area $S$, trasformato con una affinità di determinante $Delta = ad - bc$, diventerà un altro poligono con area $S'$ tale che $(S')/S = Delta$. Questa proprietà può avere varie applicazioni in ambito olimpico (per esempio, se devi trovare l'area di un poligono "strano", potresti con un'affinità trasformarlo in uno più semplice, calcolarne l'area, e poi trovare l'area del primo con la formula del $Delta$).
Questa è una breve presentazione delle affinità: per uno studio più approfondito di esse, buona fortuna!