$7^900$
Quante cifre ha - nella sua rappresentazione decimale - il numero $7^900$? E' - ovviamente - vietato usare calcolatrici e/o tavole; si sa solo che $log_(10)7=0.84509$
Mi aiutate, per favore? Non so da dove cominciare...
Grazie in anticipo...
Paolo
Mi aiutate, per favore? Non so da dove cominciare...
Grazie in anticipo...
Paolo
Risposte
Prova a risolvere queste semplici equazioni
$log_10x=0=>x=...$
$log_10x=1=>x=...$
$log_10x=2=>x=...$
$log_10x=3=>x=...$
e ricorda che $log_10 7^900=900*log_10 7
forse adesso riesci a risolvere l'esercizio da solo
$log_10x=0=>x=...$
$log_10x=1=>x=...$
$log_10x=2=>x=...$
$log_10x=3=>x=...$
e ricorda che $log_10 7^900=900*log_10 7
forse adesso riesci a risolvere l'esercizio da solo
Se vuoi un valore approssimato senza usare i logaritmi puoi procedere così:
$7^900=(7^2)^450~(100/2)^450=10^900/2^450=10^900/(2^10)^45~10^900/(10^3)^45=10^900/10^135=10^765$
Il numero ha perciò circa 766 cifre.
$7^900=(7^2)^450~(100/2)^450=10^900/2^450=10^900/(2^10)^45~10^900/(10^3)^45=10^900/10^135=10^765$
Il numero ha perciò circa 766 cifre.
$7^900$ ha (almeno secondo i miei calcoli) $761$ cifre.
Se $b \ge 1$ ed $n \ge 1$ sono interi, allora $n$ possiede $k+1$ cifre nella rappresentazione posizionale in base $b$ sse $b^k \le n < b^{k+1}$. I.e., $k = \lfloor \log_b(n) \rfloor$. Nel caso particolare del problema, $b = 10$ ed $n = 7^{900}$. Quindi $k = \lfloor 900 \cdot \log_{10}(7) \rfloor$, come ha scritto giustamente amelia. I.e., $k = 760$.
Dunque: grazie a MaMo e Wizard per le loro risposte.
Mi soffermo un secondo di più sul metodo proposto da Amelia. Anzitutto grazie anche a te per la risposta.
Ora, tu mi dici di risolvere le equazioni logartimiche
$log_(10)x=0=>x=1$
$log_(10)x=1=>x=10$
$log_(10)x=2=>x=100=10^2$
$\cdots$
$log_(10)x=n=>x=10^n$
Poi so - giustamente - che $log_(10)7^(900)=900*log_(10)7$... Ma adesso? Il problema è che non riesco a capire come mi possa essere d'aiuto il calcolo logaritmico: al massimo determino il numero di zeri finali (per mezzo della notazione esponenziale) ma come faccio a sapere quante sono le prime cifre?
Perdonami, Amelia, ma non sono molto ferrato in questo tipo di problemi... Sto cercando di entrare in questa mentalità, ma non è così semplice...
Grazie a tutti.
In attesa di un ulteriore aiuto (lo so, sono una frana rompiscatole) vi saluto.
Grazie ancora,
Paolo
Mi soffermo un secondo di più sul metodo proposto da Amelia. Anzitutto grazie anche a te per la risposta.
Ora, tu mi dici di risolvere le equazioni logartimiche
$log_(10)x=0=>x=1$
$log_(10)x=1=>x=10$
$log_(10)x=2=>x=100=10^2$
$\cdots$
$log_(10)x=n=>x=10^n$
Poi so - giustamente - che $log_(10)7^(900)=900*log_(10)7$... Ma adesso? Il problema è che non riesco a capire come mi possa essere d'aiuto il calcolo logaritmico: al massimo determino il numero di zeri finali (per mezzo della notazione esponenziale) ma come faccio a sapere quante sono le prime cifre?
Perdonami, Amelia, ma non sono molto ferrato in questo tipo di problemi... Sto cercando di entrare in questa mentalità, ma non è così semplice...
Grazie a tutti.
In attesa di un ulteriore aiuto (lo so, sono una frana rompiscatole) vi saluto.
Grazie ancora,
Paolo
@ Gabriel
Sei sicuro che il numero delle cifre sia $760$. Io me ne trovo una in più.
EDITO: mi ero perso nei miei conti il $k+1$ nella premessa che porta al calcolo del $k$. Ok. Mi torna tutto. I'm sorry
Sei sicuro che il numero delle cifre sia $760$. Io me ne trovo una in più.
EDITO: mi ero perso nei miei conti il $k+1$ nella premessa che porta al calcolo del $k$. Ok. Mi torna tutto. I'm sorry
"Paolo90":
Perdonami, Amelia, ma non sono molto ferrato in questo tipo di problemi... Sto cercando di entrare in questa mentalità, ma non è così semplice...
Grazie ancora,
Paolo
Se $0<=log_(10)x<1$ $=>$ x è un numero di una sola cifra
Se $1<=log_(10)x<2$ $=>$ x è un numero di 2 cifre
...
Poiché $760<=log_(10) 7^900=900*log_(10) 7 =760,5882...<761$ $=>$ x è un numero di 761 cifre
Eh già. E' vero, Amelia. Ho capito il tuo ragionamento: non fa una piega.
Basta un grazie per il tuo aiuto? Davvero, ti ringrazio molto per la tua spiegazione e per il tempo che mi hai dedicato. Scusa il disturbo.
Grazie a tutti.
Paolo
Basta un grazie per il tuo aiuto? Davvero, ti ringrazio molto per la tua spiegazione e per il tempo che mi hai dedicato. Scusa il disturbo.
Grazie a tutti.
Paolo
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