3 monete
Un problema che mi pare semplice, ma forse non lo è 
Ho 3 monete in una borsa, 2 sono "fair", ovvero hanno p=1/2 croce e p=1/2 testa. La terza è unfair, ovvero ha 2 teste.
Estraggo una moneta a caso e faccio 3 lanci, con risultato {testa,testa,testa}
Sapendo questo qual'è la probabilità di fare croce al quarto lancio?
Ho 3 monete in una borsa, 2 sono "fair", ovvero hanno p=1/2 croce e p=1/2 testa. La terza è unfair, ovvero ha 2 teste.
Estraggo una moneta a caso e faccio 3 lanci, con risultato {testa,testa,testa}
Sapendo questo qual'è la probabilità di fare croce al quarto lancio?
Risposte
Sono decisamente fuori allenamento quindi molto probabilmente mi sbaglio comunque...
$2/3$ no...
Anche considerando che non sia influenzato dai lanci precedenti si avrebbe:
$1/3*0 + 2/3*1/2 = 1/3$
$2/3$ è al limite quella di fare testa... Stai attento al testo...
Se noi però facciamo uno schema ci rendiamo conto che solamente 10 delle 24 possibili combinazioni danno 3 teste e di queste 8 non sono seguite da una croce. quindi il risultato dovrebbe essere $1/5$.
In fondo è molto più probabile avere 3 teste consecutive con la moneta unfair che con quella bilanciate...
$2/3$ no...
Anche considerando che non sia influenzato dai lanci precedenti si avrebbe:
$1/3*0 + 2/3*1/2 = 1/3$
$2/3$ è al limite quella di fare testa... Stai attento al testo...
Se noi però facciamo uno schema ci rendiamo conto che solamente 10 delle 24 possibili combinazioni danno 3 teste e di queste 8 non sono seguite da una croce. quindi il risultato dovrebbe essere $1/5$.
In fondo è molto più probabile avere 3 teste consecutive con la moneta unfair che con quella bilanciate...
Piccola modifica, spero "food for brain" (mica originale, e' tipico farla per Monty Hall)
PS: qual'è o qual è? Annoso problema... A me sembra arcaica la seconda forma (come dicono gli "esperti" di wikipedia)
"SnakePlinsky":
Ho 3 monete in una borsa, 2 sono "fair", ovvero hanno p=1/2 croce e p=1/2 testa. La terza è unfair, ovvero ha 2 teste.
Estraggo una moneta a caso e faccio 1.000.000 lanci, con risultato {testa,testa,...,testa}
Sapendo questo qual'è la probabilità di fare croce al lancio 1.000,001-esimo?
PS: qual'è o qual è? Annoso problema... A me sembra arcaica la seconda forma (come dicono gli "esperti" di wikipedia)
Usando il teorema di Bayes si trova che la probabilità che la moneta estratta sia fair è 1/5 per cui la probabilità di avere croce al quarto lancio è:
$P=1/5*1/2=1/10$.
$P=1/5*1/2=1/10$.
"MaMo":
Usando il teorema di Bayes si trova che la probabilità che la moneta estratta sia fair è 1/5 per cui la probabilità di avere croce al quarto lancio è:
$P=1/5*1/2=1/10$.
Hai ragione... Mi ero dimenticato di moltiplicare per 1/2
...scustae, ho letto ora:
Sapendo questo qual'è la probabilità di fare croce al quarto lancio?
va sostituito con:
Sapendo questo qual'è la probabilità di fare testa al quarto lancio?
O anche, testa all' n-esimo lancio, sapendo che agli (n-1)-esimi precedenti ho fatto sempre testa, come dice Fioravante.
Quindi 9/10 la probabilità di fare testa... ora ci ragiono sopra...
Sapendo questo qual'è la probabilità di fare croce al quarto lancio?
va sostituito con:
Sapendo questo qual'è la probabilità di fare testa al quarto lancio?
O anche, testa all' n-esimo lancio, sapendo che agli (n-1)-esimi precedenti ho fatto sempre testa, come dice Fioravante.
Usando il teorema di Bayes si trova che la probabilità che la moneta estratta sia fair è 1/5 per cui la probabilità di avere croce al quarto lancio è:
$P=1/5⋅1/2=1/10$.
Quindi 9/10 la probabilità di fare testa... ora ci ragiono sopra...
[OT]
Riporto l'opinione di mia mamma (insegnante elementare da più di 30 anni) in merito a questa faccenda.
L'apostrofo serve a segnare graficamente l'elisione dell'ultima vocale o sillaba di una parola (si pensi a po' che sostituisce poco ed agli articoli); il problema è che qual è non è quale è!
Mi spiego. Nel caso in esame, qual è una parola esistente nel vocabolario della lingua italiana (si usa ad esempio nelle locuzioni in un certo qual modo o per la qual cosa) ed è precisamente tale parola che si usa nello scrivere qual è. Così, come non si usa l'apostrofo nella locuzione in un certo qual modo, non bisogna usarlo nemmeno in qual è perchè non c'è nessuna vocale da elidere.
Per quanto riguarda l'arcaicità della forma penso che, finché la parola qual continuerà ad essere usata in locuzioni come quelle riportate sopra, bisognerà scrivere anche qual è senza la minima traccia di apostrofi... Altrimenti errore da penna rossa!
[/OT]
"Fioravante Patrone":
PS: qual'è o qual è? Annoso problema... A me sembra arcaica la seconda forma (come dicono gli "esperti" di wikipedia)
Riporto l'opinione di mia mamma (insegnante elementare da più di 30 anni) in merito a questa faccenda.
L'apostrofo serve a segnare graficamente l'elisione dell'ultima vocale o sillaba di una parola (si pensi a po' che sostituisce poco ed agli articoli); il problema è che qual è non è quale è!
Mi spiego. Nel caso in esame, qual è una parola esistente nel vocabolario della lingua italiana (si usa ad esempio nelle locuzioni in un certo qual modo o per la qual cosa) ed è precisamente tale parola che si usa nello scrivere qual è. Così, come non si usa l'apostrofo nella locuzione in un certo qual modo, non bisogna usarlo nemmeno in qual è perchè non c'è nessuna vocale da elidere.
Per quanto riguarda l'arcaicità della forma penso che, finché la parola qual continuerà ad essere usata in locuzioni come quelle riportate sopra, bisognerà scrivere anche qual è senza la minima traccia di apostrofi... Altrimenti errore da penna rossa!
[/OT]
"Fioravante Patrone":
PS: qual'è o qual è? Annoso problema... A me sembra arcaica la seconda forma (come dicono gli "esperti" di wikipedia)
Se qual è è arcaico, allora io che dico bascio invece di bacio, come Boccaccio?...
se ho ben capito il problema, a me viene una probabilità di 17/18 . quindi è diversa da quella suggerita. io ho considerato 1/2 la probabilità di estrarre una delle due monete e quindi i due casi che portano ad un risultato "possibile" hanno probabilità 1/16 e 1/2 rispettivamente di essere verificati. quindi con probabilità 1/9 abbiamo la moneta non truccata e con probabilità 8/9 abbiamo la moneta truccata. la probabiltà di avere testa al quarto lancio è dunque: $8/9+1/9*1/2=17/18$ . che ne pensate?
scusate, le monete non truccate sono due... me ne sono accorta solo ora. dunque, con qualche piccolo aggiustamento si ha $P=1/5*1/2+4/5=9/10$. forse ora è una soluzione uguale a qualcuna delle altre proposte? ciao.
Saro' fuori allenamento e sono passati 30 anni dal mio 30 e lode in statistica, ma a me sembra così banale. Hai 3 monete, 1 taroccata (2 teste), la probabilità di fare testa al quarto o all'n-simo tentativo ovviamente non è condizionata dalle altre ed è p(T)=1-p(C), la probabilità di fare Croce p(C) per il teorema di Bayes è 2/3 * 1/2 = 1/3 quindi p(T)=2/3. Se le monete taroccate sono 2 diventa p(T)=1-1/3*1/2=5/6. Ciao
p=$1/3 +1/16$
"Talete 14":
p=$1/3 +1/16$
Ipse dixit.
Ma ci dobbiamo fidare?
https://www.matematicamente.it/forum/1-0 ... 33185.html
Io esiterei a prendere come oro colato la sua risposta.
Che, comunque, esigerebbe uno straccio di giustificazione, come usano fare quei rozzi di matematici.
"alfredoerre":
la probabilità di fare testa al quarto o all'n-simo tentativo ovviamente non è condizionata dalle altre
non mi convince, in quanto c'e' la moneta truccata...
Io sarò scemo, e non ho fatto esami di statistica o probabilità. Ragiono a "senso".
Ho 2 buone e una taroccata che fa sempre testa, mi escono 3 teste di fila. Voglio la probabilità che il quarto sia croce.
Io direi: la mia probabilità è la somma della probabilità ($P(b)$)di fare croce avendo scelto la moneta buona più la probabilità ($P(t)$)di fare croce con la moneta taroccata (non so se c'è un teorema che asserisce questo). $P(b)$ è la probabilità di aver scelto la moneta buona ($2/3$) per la probabilità di fare croce al quarto lancio ($1/2$, dato che ogni lancio è indipendente dai precedenti-sono con la moneta buona, ricordo), da cui $P(b)=2/3*1/3=1/3$. $P(t)$ è invece uguale a $1/3*0$ (non posso fare croce con la moneta di sole teste). Quindi la probabilità di fare croce al quarto lancio secondo me è $1/3+0=1/3$, e di fare testa $2/3$. Siccome persone più competenti di me hanno dato risposte diverse, gradirei che mi si spiegasse cosa non va nel mio ragionamento.
Ho 2 buone e una taroccata che fa sempre testa, mi escono 3 teste di fila. Voglio la probabilità che il quarto sia croce.
Io direi: la mia probabilità è la somma della probabilità ($P(b)$)di fare croce avendo scelto la moneta buona più la probabilità ($P(t)$)di fare croce con la moneta taroccata (non so se c'è un teorema che asserisce questo). $P(b)$ è la probabilità di aver scelto la moneta buona ($2/3$) per la probabilità di fare croce al quarto lancio ($1/2$, dato che ogni lancio è indipendente dai precedenti-sono con la moneta buona, ricordo), da cui $P(b)=2/3*1/3=1/3$. $P(t)$ è invece uguale a $1/3*0$ (non posso fare croce con la moneta di sole teste). Quindi la probabilità di fare croce al quarto lancio secondo me è $1/3+0=1/3$, e di fare testa $2/3$. Siccome persone più competenti di me hanno dato risposte diverse, gradirei che mi si spiegasse cosa non va nel mio ragionamento.
"alvinlee88":
Io sarò scemo, e non ho fatto esami di statistica o probabilità. Ragiono a "senso".
Ho 2 buone e una taroccata che fa sempre testa, mi escono 3 teste di fila. Voglio la probabilità che il quarto sia croce.
Io direi: la mia probabilità è la somma della probabilità ($P(b)$)di fare croce avendo scelto la moneta buona più la probabilità ($P(t)$)di fare croce con la moneta taroccata (non so se c'è un teorema che asserisce questo). $P(b)$ è la probabilità di aver scelto la moneta buona ($2/3$) per la probabilità di fare croce al quarto lancio ($1/2$, dato che ogni lancio è indipendente dai precedenti-sono con la moneta buona, ricordo), da cui $P(b)=2/3*1/3=1/3$. $P(t)$ è invece uguale a $1/3*0$ (non posso fare croce con la moneta di sole teste). Quindi la probabilità di fare croce al quarto lancio secondo me è $1/3+0=1/3$, e di fare testa $2/3$. Siccome persone più competenti di me hanno dato risposte diverse, gradirei che mi si spiegasse cosa non va nel mio ragionamento.
non so se il tuo ragionamento sia corretto o meno, pero' una cosa che si puo' osservare e' che sembra non prendere in considerazione alcuna l'informazione che sono uscite gia' tre teste... non so se cio' basti a dire che il tuo ragionamento e' scorretto.
${[1/3 -> 1],[2/3 ->1/8] :}$
questa è la situazione considerando che sono uscite tre teste:
situazione a priori:
con probabilità 1/3 è stata estratta la moneta con due teste, con probabilità 2/3 è stata estratta la moneta equa.
situazione a posteriori:
se fosse stata estratta la moneta con due teste sarebbe stata 1 la probabilità dell'uscita di 3 teste,
se invece fosse stata estratta la moneta equa, sarebbe stata 1/8 la probabilità dell'uscita di 3 teste.
dunque, l'evento che si è verificato, teoricamente aveva probabilità $1/3*1+2/3*1/8=1/3+1/12=4/12+1/12=5/12$ di verificarsi,
però, di questi "5 casi su 12", 4 riguardano la moneta fasulla e 1 le monete eque, per cui si può dedurre che, essendo uscite 3 teste,
è $4/5$ la probabilità che sia stata estratta la moneta con due teste, mentre è $1/5$ la probabilità che sia stata estratta una moneta equa.
quindi la probabilità di avere una quarta testa è $4/5*1+1/5*1/2=9/10$, mentre la probabilità di avere croce al quarto lancio è "solo" $1/5*1/2=1/10$
è chiaro? ciao.
questa è la situazione considerando che sono uscite tre teste:
situazione a priori:
con probabilità 1/3 è stata estratta la moneta con due teste, con probabilità 2/3 è stata estratta la moneta equa.
situazione a posteriori:
se fosse stata estratta la moneta con due teste sarebbe stata 1 la probabilità dell'uscita di 3 teste,
se invece fosse stata estratta la moneta equa, sarebbe stata 1/8 la probabilità dell'uscita di 3 teste.
dunque, l'evento che si è verificato, teoricamente aveva probabilità $1/3*1+2/3*1/8=1/3+1/12=4/12+1/12=5/12$ di verificarsi,
però, di questi "5 casi su 12", 4 riguardano la moneta fasulla e 1 le monete eque, per cui si può dedurre che, essendo uscite 3 teste,
è $4/5$ la probabilità che sia stata estratta la moneta con due teste, mentre è $1/5$ la probabilità che sia stata estratta una moneta equa.
quindi la probabilità di avere una quarta testa è $4/5*1+1/5*1/2=9/10$, mentre la probabilità di avere croce al quarto lancio è "solo" $1/5*1/2=1/10$
è chiaro? ciao.
So di non aver usato questo fatto, e difatti non sono sicuro che il mio discorso sia giusto. Però se è lecito considerare la probabilità come la somma delle 2 probabilità definite nel mio post sopra, queste le analizzo singolarmente. La prima, occupandosi della moneta onesta, non deve ovviamente tener conto dei lanci precedenti. La seconda, è ovviamente zero. Però sembra anche a me che qualcosa mi sfugga....
Un altro possibile ragionamento, che mi sembra ancora meno corretto, è il seguente. Prima di fare i lanci, qual'è la probabilità che con la moneta buona escano 3 teste consecutive? Io direi $1/8$. Quindi io che arrivo a lanci già fatti potrei dire che con probabilità $7/8$ la moneta è tarocca? Se si, allora la probabilità che il prossimo lancio sia croce in 7 casi su 8 è zero, in 1 caso su 8 è $1/2$. Quindi direi che la probabilità di avere croce al quarto lancio, se io arrivo a lanci già effettuati (anche se questo non dovrebbe influire molto, in realtà....) sia $7/8*0+1/8*1/2=1/16$, e che quella di avere testa sia $15/16$(che fra l'altro è uguale, come deve essere, a $7/8*1+1/8*1/2$).
Ecco, non sono convinto di nesusno dei 2 ragionamenti (in particolare del secondo). In particolare ho ottenuto risultati diversi in base al fatto che io arrivi a lanci già effettuati, mentre prima no, ma questo non dovrebbe in alcun modo influire sulla probabilità? O sbaglio?
Gradirei lumi.
Un altro possibile ragionamento, che mi sembra ancora meno corretto, è il seguente. Prima di fare i lanci, qual'è la probabilità che con la moneta buona escano 3 teste consecutive? Io direi $1/8$. Quindi io che arrivo a lanci già fatti potrei dire che con probabilità $7/8$ la moneta è tarocca? Se si, allora la probabilità che il prossimo lancio sia croce in 7 casi su 8 è zero, in 1 caso su 8 è $1/2$. Quindi direi che la probabilità di avere croce al quarto lancio, se io arrivo a lanci già effettuati (anche se questo non dovrebbe influire molto, in realtà....) sia $7/8*0+1/8*1/2=1/16$, e che quella di avere testa sia $15/16$(che fra l'altro è uguale, come deve essere, a $7/8*1+1/8*1/2$).
Ecco, non sono convinto di nesusno dei 2 ragionamenti (in particolare del secondo). In particolare ho ottenuto risultati diversi in base al fatto che io arrivi a lanci già effettuati, mentre prima no, ma questo non dovrebbe in alcun modo influire sulla probabilità? O sbaglio?
Gradirei lumi.
Ahh scusa AdaBTTLS, abbiamo postato insieme. Il mio dubbio sui 2 tipi di ragionamenti diversi (che te chiami giustamente a priori e a posteriori, che sono le stesse cose che voelvo dire io nel mio topic precedente) si risolve considerando contemporaneamente le probabilità dei due tipo di ragionamento (come mi sembra hai fatto te)?
"alvinlee88":
So di non aver usato questo fatto, e difatti non sono sicuro che il mio discorso sia giusto. Però se è lecito considerare la probabilità come la somma delle 2 probabilità definite nel mio post sopra, queste le analizzo singolarmente. La prima, occupandosi della moneta onesta, non deve ovviamente tener conto dei lanci precedenti. La seconda, è ovviamente zero. Però sembra anche a me che qualcosa mi sfugga....
sembrerebbe, come dice ada, che tu indichi le probabilita' a priori....cioe' prima di aver fatto i tre lanci.
che intendi con "contemporaneamente"?
la probabilita' richiesta dal problema e' "a posteriori", in quanto abbiamo conoscenza che sono uscite gia' tre teste.
la probabilita' richiesta dal problema e' "a posteriori", in quanto abbiamo conoscenza che sono uscite gia' tre teste.
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