Urgente (81083)

[alex1212]

Sono date due rette di equazioni 3x + 4y = 0 e 5x - 12y = 0. Come determini le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da due rette? Dopo averle dimostrate,osserva le loro equazioni. Come sono fra loro tali bisettrici?

[bimbozza]

per determinare la bisettrice dobbiamo prendere un punto generico P(x,y) e imporre che la distanza tra le due rette con questo punto sia uguale

[math](3x+4y)/ \sqrt{9+16}=+-(5x-12y)/ \sqrt{25+144}[/math]

[math](3x+4y)/ 5=+-(5x-12y)/ 13[/math]

[math]13(3x+4y)=+-5(5x-12y)[/math]

[math]39x+52y=+-(25x-60y)[/math]

quindi abbiamo due rette

[math]39x+52y=25x-60y[/math]

cioè y=-1/8x

[math]39x+52y=-25x+60y[/math]

cioè y= 8x

sono perpendicolari perchè il coeff ang di una è l'antireciproco dell'altra

[Ali Q]

Soluzione:

Disegniamo queste due rette nel piano cartesiano. Per farlo è sufficiente determinare due punti che appartengono ad esse, giacchè per due punti passa una ed una sola retta.
Possiamo ad esempio determinare dove le due rette tagliano gli assi cartesiano x e y.

1)

[math]3x + 4y = 0[/math]

[math]x =0[/math]

allora

[math]y = 0 [/math]

2)

[math]5x -12y = 0[/math]

[math]x =0[/math]

allora

[math]y = 0 [/math]

Entrambe le rette passano per l'origine, ed è dunque lì che esse si tagliano a vicenda.

Calcoliamo l'angolo che esse formano nel piano. Determiniamo innanzi tutto i due coefficienti angolari:

[math]3x + 4y = 0[/math]

[math]y = -3/4 x[/math]

Questa retta ha coefficiente angolare -3/4. Il fatto che sia negativo mi dice che essa taglia il secondo e quarto quadrante del piano.
Il coefficiente angolare rappresenta l'inclinazione della retta nel piano. In altre parole:

[math] m = tg (a)[/math]

, dove con a si intende l'angolo che questa retta forma rispetto all'asse delle ascisse.
Nel nostro caso tg(a) = -3/4
a = -36,86°
Il meno davanti mi indica che l'angolo viene calcolato a partire dall'asse x in senso orario e non antiorario (senso positivo).
La retta forma invece, rispetto all'asse delle y, un angolo pari a:

[math]b1 = 90 -a =[/math]

53,13° circa

[math]5x -12y = 0[/math]

[math]y = 5/12 x[/math]

Questa retta ha coefficiente angolare 5/12. Il fatto che sia positivo mi dice stavolta che essa taglia il primo e terzo quadrante del piano.
Il coefficiente angolare rappresenta l'inclinazione della retta nel piano. In altre parole:

[math] m = tg (a)[/math]

, dove con a si intende l'angolo che questa retta forma rispetto all'asse delle ascisse.
Nel nostro caso tg(a) = 5/12
a = 22,62° circa
La retta forma invece, rispetto all'asse delle y, un angolo pari a:

[math]b2 = 90 -a =[/math]

67,38° circa

Le due rette, dunque, dividono il piano in due angoli a due a due uguali.
L'angolo sopra e l'angolo sotto hanno ampiezza:

[math]b1 + b2 = 53,13 + 67,38[/math]

[math] = 120,51[/math]

°

Gli altri due angoli hanno ampiezza:

[math]a1 + a2 = 36,86 +22,62 = 59,48[/math]

°

Vediamo la bisettrice del primo angolo

[math](b1 +b2).[/math]

Essa passerà per l'orgine degli assi cartesiani ed avrà duqnue forma

[math]y= mx[/math]

.
Essa dovrà tagliare l'angolo in due angoli di ampiezza

[math](b1+b2)/2 = 60,255 [/math]

l'uno.
La sua inclinazione totale rispetto all'asse x sarà

[math]60,255 + a2 =60,25 + 22,62 = 82,875[/math]

°
Taglierà duqnue il primo e il terzo quadrante, quindi

[math]m>0[/math]

.

[math]m = tg (82,875) = 8[/math]

[math]y = 8 x[/math]

Vediamo adesso la bisettrice del secondo angolo

[math](a1 +a2).[/math]

Essa passerà per l'orgine degli assi cartesiani ed avrà dunque forma

[math]y= mx[/math]

.
Essa dovrà tagliare l'angolo in due angoli di ampiezza

[math](a1+a2)/2 = 29,74 [/math]

l'uno.
La sua inclinazione totale rispetto all'asse y sarà

[math]29,74 + b1 =29,74+ 53,13 = 82,87[/math]

°
Quella rispetto all'asse x:

[math]90-82,87 = 7,13[/math]

° (in senso orario)
Taglierà duqnue il secondo e il quarto quadrante, quindi [math]m

[bimbozza]

:blush