Problemi di geometria - pitagora
Richiedo aiuto per questi problemi di geometria. 6
Disegna due segmenti AB e CD, in modo che risulti CD _< AB/2. dividi il segmento AB in due parti tali che il rettangolo che ha per lati queste due parti sia equivalente al quadrato che ha per lato CD. Motiva la costruzione.
7
Dimostra che la somma dei quadrati costruiti sopra due lati di un triangolo è equivalente al doppio del quadrato della mediana relativo al terzo lato aumentato del doppio del quadrato della metà del terzo lato stesso. (suggerimento. Applica uno dei teoremi di pitagora generalizzati)
8
Disegna una circonferenza di centro O. su un diametro AB da parti opposte rispetto a O considera due punti E e F equidistanti da O. Dimostra che la somma dei quadrati delle loro distanze da un qualunque punto P della circonferenza è costante. (suggerimento. Utilizza il risultato dell’esercizio precedente).
9
Dimostra che in un triangolo con un angolo che è 1/3 di angolo piatto il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuita del rettangolo avente come dimensioni i due lati stessi.
Aggiunto 15 ore 42 minuti più tardi:
i due teoremi di pitagora generalizzati si basano su due premesse che sono le seguenti:
il quadrato Q(a+b) costruito sulla somma a+b di due segmenti è equivalente alla somma dei quadrati Q(a) e Q(b) costruiti sui segmenti a e b aumentata del doppio del rettangolo R(a,b) che ha i lati congruenti ai due segmenti dati
2
il quadrato costruito sulla differenza di due segmenti è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due segmenti dimimuita del doppio del rettangolo che ha i lati congruenti ai due segmenti dati.
il primo teorema generalizzato dice:
in un triangolo ottusangolo il quadrato costruito sul lato opposto all'angolo ottuso è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati aumentata del doppio del rettangolo avente come dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell'altro su di esso.
il secondo dice che:
in un qualsiasi triangolo il quadrato costruito sul lato opposto a un angolo acuto è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuita del doppio del rettangolo avente come dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell'altro su di esso.
Disegna due segmenti AB e CD, in modo che risulti CD _< AB/2. dividi il segmento AB in due parti tali che il rettangolo che ha per lati queste due parti sia equivalente al quadrato che ha per lato CD. Motiva la costruzione.
7
Dimostra che la somma dei quadrati costruiti sopra due lati di un triangolo è equivalente al doppio del quadrato della mediana relativo al terzo lato aumentato del doppio del quadrato della metà del terzo lato stesso. (suggerimento. Applica uno dei teoremi di pitagora generalizzati)
8
Disegna una circonferenza di centro O. su un diametro AB da parti opposte rispetto a O considera due punti E e F equidistanti da O. Dimostra che la somma dei quadrati delle loro distanze da un qualunque punto P della circonferenza è costante. (suggerimento. Utilizza il risultato dell’esercizio precedente).
9
Dimostra che in un triangolo con un angolo che è 1/3 di angolo piatto il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuita del rettangolo avente come dimensioni i due lati stessi.
Aggiunto 15 ore 42 minuti più tardi:
i due teoremi di pitagora generalizzati si basano su due premesse che sono le seguenti:
il quadrato Q(a+b) costruito sulla somma a+b di due segmenti è equivalente alla somma dei quadrati Q(a) e Q(b) costruiti sui segmenti a e b aumentata del doppio del rettangolo R(a,b) che ha i lati congruenti ai due segmenti dati
2
il quadrato costruito sulla differenza di due segmenti è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due segmenti dimimuita del doppio del rettangolo che ha i lati congruenti ai due segmenti dati.
il primo teorema generalizzato dice:
in un triangolo ottusangolo il quadrato costruito sul lato opposto all'angolo ottuso è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati aumentata del doppio del rettangolo avente come dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell'altro su di esso.
il secondo dice che:
in un qualsiasi triangolo il quadrato costruito sul lato opposto a un angolo acuto è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuita del doppio del rettangolo avente come dimensioni uno di questi lati e la proiezione dell'altro su di esso.
Risposte
Il primo presenta un errore e non lo capisco..
Per il secondo, ti chiedo cortesemente di indicarmi queste formule di Pitagora generalizzate, perche' io ne conosco una con quel nome, e lo risolverei con l'applicazione della formula di Erone
Aggiunto 7 ore 18 minuti più tardi:
Ti posto l'8, il 7 ha un simbolo che non capisco.
Lavoriamo sullo stesso disegno:
il lato diviso in due dalla mediana lo chiamiamo a e il vertice ad esso opposto A
Gli altri due b e c (ovviamente :D )
Consideriamo i triangoli ABM e AMC dei quali tracciamo l' altezza AH, coincidente per entrambi i triangoli sul lato a
Consideriamo gli angoli in M dei due triangoli. Essendo supplementari uno dei due sara' necessariamente acuto e l'altro ottuso (eccezione per i triangoli isoscele e equilateri, ma non importa perche' non cambia ai fini dell'esercizio poi vediamo il perche')
Allora sappiamo che (nel mio disegno AMC e' ottusangolo)
Dove con
L'altro triangolo varra' analogamente (e' acuto)
Pertanto se calcoliamo
E dal momento che le proiezioni di m sul lato a sono coincidenti, i due opposti si semplificano lasciando la relazione da dimostrare, ovvero
Aggiunto 56 minuti più tardi:
9)
Analogamente al problema precedente, unisci P al centro della circonferenza e traccia la perpendicolare ad AB da P segnando con H il piede.
Siccome i due triangoli POE e PFO hanno un lato in comune (PO ovvero il raggio della circonferenza) e la stessa proiezione del lato PO sulla base EO=EF (che giaciono sulla stessa retta), inoltre hanno gli angoli EOP e FOP supplementari (e quindi uno acuto e l'altro ottuso) avremo che
La loro somma (essendo OF=OE) sara'
Aggiunto 3 minuti più tardi:
Che e' coastante in quanto PO e' il raggio della circonferenza e OF e' la lunghezza dei segmenti giacenti sul diametro
Aggiunto 31 minuti più tardi:
9)
l'unica considerazione aggiuntiva da fare e' sulla proiezione del lato sull'altro.
Il triangolo ha un angolo di 60 gradi (1/3 di 180).
Tracciando la proiezione, ottieni un triangolo rettangolo di angoli 30,60,90.
Questo triangolo e' la meta' di un triangolo equilatero, di cui la proiezione rappresenta meta' del lato, (mentre l'altezza che hai tracciato per costruire la proiezione e' l'altezza del triangolo equilatero)
Pertanto la proiezione sara' lunga come meta' del lato proiettato, e dunque "il doppio prodotto del lato per la sua proiezione" diverra'
Per il secondo, ti chiedo cortesemente di indicarmi queste formule di Pitagora generalizzate, perche' io ne conosco una con quel nome, e lo risolverei con l'applicazione della formula di Erone
Aggiunto 7 ore 18 minuti più tardi:
Ti posto l'8, il 7 ha un simbolo che non capisco.
Lavoriamo sullo stesso disegno:
il lato diviso in due dalla mediana lo chiamiamo a e il vertice ad esso opposto A
Gli altri due b e c (ovviamente :D )
Consideriamo i triangoli ABM e AMC dei quali tracciamo l' altezza AH, coincidente per entrambi i triangoli sul lato a
Consideriamo gli angoli in M dei due triangoli. Essendo supplementari uno dei due sara' necessariamente acuto e l'altro ottuso (eccezione per i triangoli isoscele e equilateri, ma non importa perche' non cambia ai fini dell'esercizio poi vediamo il perche')
Allora sappiamo che (nel mio disegno AMC e' ottusangolo)
[math] b^2=m^2+ \(\frac{a}{2} \)^2+2 \(\frac{a}{2} \)p_{m_a} [/math]
Dove con
[math]p_{m_b}[/math]
indico la proiezione di m sul lato a/2 (ovvero su a AK)L'altro triangolo varra' analogamente (e' acuto)
[math] c^2=m^2+ \(\frac{a}{2})^2-2\(\frac{a}{2} \)p_{m_a} [/math]
Pertanto se calcoliamo
[math] b^2+c^2 [/math]
sommiamo i corrispondenti ottenendo:[math] b^2+c^2=m^2+ \(\frac{a}{2}\)^2+2\(\frac{a}{2} \)p_{m_a}+m^2+ \( \frac{a}{2}\)^2-2mp_{m_a} = \\ = 2m^2+2 \(\frac{a}{2}\)^2+2\(\frac{a}{2} \)p_{m_a}-2\(\frac{a}{2} \)p_{m_a}[/math]
E dal momento che le proiezioni di m sul lato a sono coincidenti, i due opposti si semplificano lasciando la relazione da dimostrare, ovvero
[math] b^2+c^2= 2m^2+2 \(\frac{a}{2}\)^2[/math]
Aggiunto 56 minuti più tardi:
9)
Analogamente al problema precedente, unisci P al centro della circonferenza e traccia la perpendicolare ad AB da P segnando con H il piede.
Siccome i due triangoli POE e PFO hanno un lato in comune (PO ovvero il raggio della circonferenza) e la stessa proiezione del lato PO sulla base EO=EF (che giaciono sulla stessa retta), inoltre hanno gli angoli EOP e FOP supplementari (e quindi uno acuto e l'altro ottuso) avremo che
[math] \bar{PE}^2=\bar{PO}^2+\bar{EO}^2-2 \bar{EO} \bar{OH} [/math]
[math] \bar{PF}^2=\bar{PO}^2+\bar{OF}^2+2 \bar{OF} \bar{OH} [/math]
La loro somma (essendo OF=OE) sara'
[math] 2 \bar{PO}^2+2 \bar{OF}^2 [/math]
Aggiunto 3 minuti più tardi:
Che e' coastante in quanto PO e' il raggio della circonferenza e OF e' la lunghezza dei segmenti giacenti sul diametro
Aggiunto 31 minuti più tardi:
9)
l'unica considerazione aggiuntiva da fare e' sulla proiezione del lato sull'altro.
Il triangolo ha un angolo di 60 gradi (1/3 di 180).
Tracciando la proiezione, ottieni un triangolo rettangolo di angoli 30,60,90.
Questo triangolo e' la meta' di un triangolo equilatero, di cui la proiezione rappresenta meta' del lato, (mentre l'altezza che hai tracciato per costruire la proiezione e' l'altezza del triangolo equilatero)
Pertanto la proiezione sara' lunga come meta' del lato proiettato, e dunque "il doppio prodotto del lato per la sua proiezione" diverra'
[math] 2 \cdot a \cdot \frac12 b = ab [/math]
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