PROBLEMA SU TRIANGOLO INSCRITTO IN UN CERCHIO!

[peri97]

Ragazzi mi serve aiuto per un problema di geometria piana: in un cerchio di raggio uguale a 4 cm è inscritto un triangolo equilatero. Prolunga un suo lato di un segmento uguale al raggio e dall'estremo esterno conduci un segmento di tangente al cerchio. Determina l'area del quadrato costruito su questo segmento.

[carlogiannini]

Disegniamo il cerchio di centro O e raggio 4 cm.
Disegniamo il triangolo equilatero ABC e l'altezza BH passante per O
Prolunghiamo il lato AB e riportiamo il segmento BD = R = 4 cm
Dal punto D mandiamo la tangente al cerchio (dalla parte più vicina a C) e chiamiamo E il punto di contatto (diametralmente opposto ad A).
Il triangolo AED è rettangolo in E perché la tangente è perpendicolare al diametro.
Quindi il lato AE passa per il centro O.
Col Teorema di Pitagora trovo:

[math](DE)^{2}[/math]

=

[math](AD)^{2}[/math]

-

[math](AE)^{2}[/math]

.
Ora, AE = 8 (2R) ,
AD = AB + BD = lato + 4 .
Il Centro O della circonferenza è anche il baricentro del triangolo equilatero iscritto e divide l'altezza in due parti di cui quella verso il vertice è doppia di quella verso la base, quindi BH (Raggio = 4) è
BO =

[math]\frac{2}{3}[/math]

BH
cioè

[math]\frac{2}{3}[/math]

h = 4,
cioè:
h = 6.
Dalla relazione:
h =

[math]\frac{L}{2}[/math]

[math]\sqrt{3}[/math]

,
ricaviamo:
L = AB = 4

[math]\sqrt{3}[/math]

.
Quindi:

[math](DE)^{2}[/math]

=

[math](4\sqrt{3} + 4)^{2}[/math]

-

[math](8)^{2}[/math]

= 32

[math]\sqrt{3}[/math]

,
se ho fatto bene i conti (controllali)

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