Problema con piano cartesiano e quadrilatero.

[Freiler]

Dati i punti A(-4;0) B(0;-3) C(2;0) determina le coordinate di un punto D (che ha y>0) in modo che il quadrilatero avente come vertici i punti medi dei lati di ABCD sia un quadrato. Io ho trovato i punti medi dei segmenti AB e BC (Rispettivamente M(-2; -3/2) e H (1;-3/2)) e la lunghezza del lato MH, che equivale a 3; non so come procedere oltre per trovare gli altri due punti medi. Grazie in anticipo

[LouisCeline]

Ci sei quasi, innanzitutto bravo hai fatto bene a calcolarti la distanza e il punto medio. Adesso ragiona ti serve sapere quale è il prossimo punto di coordinata (x,y) tale che la distanza sia 3. Se ci pensi si tratta di ragionare sulla formula della distanza tra due punti e usare l'inversa percè questa volta conosco:

- la distanza tra due punti che risulta essere 3
- le coordinate del punto H (1;-3/2) (potevo scegliere anche M è la stessa cosa ragiono su uno dei due che ti sei calcolato)
- Ma conosco anche un'latra cosa ovvero la coordinata delle ascisse del punto che chiamo L (assumendo che il quadrato sia KLMH). Questo perché si trova sulla stessa retta perpendicolare che parte da H quindi il punto L avrà coordinate (1,y). Questa y è la nostra incognita e dobbiamo calcolarla. Come? Con la formula inversa della distanza fra due punti.

Se la distanza tra due punti = radice quadrata [(x2 - x1)^2 + (y2 -y1)^2]
(Con il simbolo " ^2 " intendo elevato al quadrato)

Posso elevare entrambi i membri al quadrato e quindi al primo ottengo stanza al quadrata e al secondo elimino la radice:

distanza^2= (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Adesso:
- La distanza è uguale a 3
- Il punto H ha coordinate (1,-3/2)
- Il punto L ha coordinate (1, y)

Posso scrivere:
9 = (1 - 1)^2 + (y - (-3/2))^2
9 = 0 + y^2 + 3y + 9/4
[Moltiplico entrambi i membri per 4]
4y^2 + 12y + 9 = 36
4y^2 + 12y - 27 = 0

Risolvendo questa semplice equazione di 2 grado ottengo due soluzioni ma ovviamente scarto quella non accettabile. L'equazione di secondo grado mi da una duplice informazione perché calcola anche l'ordinata sotto H non solo quella sopra.

Le due soluzioni sono:
y = -9/2 (non la accetto perché sta al di sotto di H)
y = 3/2 (la accetto)

Le coordinate di L sono (1,3/2)

Adesso per conoscere le coordinate del punto D posso usare lo stesso ragionamento :
- calcolo la distanza da C a L
- la moltiplico per due e faccio lo stesso ragionamento di prima

Calcolo la distanza tra il punto C di coordinate (2,0) e L di coordinate (1,3/2) ( ti risparmio i calcoli tanto sei bravo a farli)

La distanza é radicedi13/ 2. Dal momento che L è il punto medio la distanza che si deve imporre deve essere moltiplicata per due che è la distanza da C a D quindi risulta essere radice di 13.

Adesso per capire se B e D giacciono sulla stessa ascissa calcolo anche la distanza tra C e B in questo modo sono sicuro di imporre D di coordinate (0,y).

Calcolo la distanza tra il punto C e B e scopro che essa é radice di 13. Bingo! é uguale a quella tra C e D e questo vuol dire che sicuramente D e B hanno la stessa ascissa che è 0. (Facendo il disegno risulta evidente!).

Posso applicare lo stesso ragionamento:
- conosco la distanza CD che é radice di 13
- Conosco le coordinate di C (2,0)
- Le coordinate delle ascisse di D (0,y)

Quindi uso sempre la formula della distanza elevando al quadrato ambo i membri per potermi esplicitare l y nell'equazione di secondo grado (ed eliminare la soluzione non accettabile):

distanza^2= (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

- la distanza = radice di 13 elevandola al quadrato esce 13
- (x2 - x1) ^2 = (2 - 0)^2 = 4
- (y2 -y1) ^2 = (0 - y)^2 = y^2

Quindi ottengo:
13 = 4 + y^2

Risolvo questa semplice equazione di secondo grado ed ottengo le due soluzioni reali:
y = -3 (non accettabile perché va al di sotto di C)
y = 3 (accettabile)

Allora il punto D avrà coordinate D(0,3)

Spero di essere stato chiaro e utile un saluto e buone vacanze ;)