MCD e mcm polinomi (264566)

[fenice98]

Buonasera,
vi allego 2 esercizi svolti da me.Volevo chiedere dove ho sbagliato nel svolgerli e perchè al secondo MCD=1.
Grazie.
es.490
8x^3-2x+1-4x^2;
(2x-1)^3.

4x^2-4x+1;
(2x-1)^"

1-4x^2;
(1-2x)(1-2X). MCD=? mcm=?

2)a^2-ab-2a+2b;
a(a-b)-2(a+b)
(a-2)(a-b)(a+b).

b^2-2b-ab+2a;
b(b-a)-2(b+a)
(b-2)(b-a)(b+a).

4-2a+ab-2b;
2(2-a)+b(a-2)
(2+b)(2-a)(a-2). MCD=? mcm=?

[danyper]

Ciao fenice98
il tuo errore sta nella scomposizione in fattori dei polinomi, vediamo insieme:

Es 490
primo polinomio

[math]8^3-2x+1-4x^2 \neq (2x-1)^3[/math]

raccogliamo a fattore comune tra 1° e 4° termine e quindi tra 2° e 3°

8^3-2x+1-4x^2=

[math]=4x^2(2x-1)-(2x-1)[/math]

[math]=(2x-1)(4x^2-1) [/math]

[math]=(2x-1)(2x-1)(2x+1)[/math]

[math]=(2x-1)^2(2x+1)[/math]

secondo polinomio:

[math]4x^2-4x+1=(2x-1)^2[/math]

questo è un quadrato di binomio e va bene

terzo polinomio:

[math]1-4x^2[/math]

questa è una differenza di due quadrati, se mettiamo in evidenza -1, abbiamno:

[math]1-4x^2=-(4x^2-1)=-(2x-1)(2x+1)[/math]

Ora che abbiamo tutti i fattori possiamo calcolare MCD e mcm.

Ricordiamo le definizioni:
MCD = il prodotto dei fattori comuni presi una volta sola con il minimo esponente !!
mcm= il prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una volta sola con il massimo esponente.

MDC

[math]= 2x-1[/math]

mcm

[math]=(2x-1)^2(2x+1)[/math]

II esercizio
primo polinomio:

[math]a^2-ab-2a+2b=[/math]

[math]=a(a-b)-2(a-b)[/math]

qui c'è l'errore che si ripete anche negli altri:

se raccogli -2, quando dividi ottieni:

[math]\frac{-2a}{-2}=a[/math]

[math]\frac{+2b}{-2}=-b[/math]

quindi:

[math]=a(a-b)-2(a-b)[/math]

[math]=(a-b)(a-2)[/math]

secondo polinomio:

[math]b^2-2b-ab+2a=[/math]

[math]=b(b-2)-a(b-2)[/math]

[math]=(b-a)(b-2)[/math]

[math]=-(a-b)(b-2)[/math]

N.B.
... mettiamo (-1) a fattor comune in(b-a) così otteniamo un fattore uguale a quello del polinomio precedente (a-b);

terzo polinomio:

[math]4-2a+ab-2b=[/math]

[math]=2(2-a)-b(-a+2)[/math]

[math]=2(2-a)-b(2-a)[/math]

[math]=(2-a)(2-b)[/math]

[math]=(a-2)(b-2)[/math]

MDC=1
non ci sono fattori comuni oltre ad 1 !!
RICORDA
Tutti i polinomi come i numeri reali, sono divisibili per l'unità.

mcm=(a-b)(a-2)(b-2)

A presto !!