Falso quadrato

morettinax · 2009-07-28CEST14:06:07+02:00

"ciao qlk1 mi pu\u00f2 spiegare il falso quadrato xk nn l'ho capito bn????\r\nad esempio\r\n[math]\\frac{1}{27}[\//math]-[math]b^6y^6[\//math]\r\n[math]x^6+64[\//math]\r\n[math]2a^5-250a^2[\//math]\r\n[math]3m^3x^6-3[\//math]\r\n[math]y^9-8[\//math]"

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morettinax

28 lug 2009, 14:06

ciao qlk1 mi può spiegare il falso quadrato xk nn l'ho capito bn????
ad esempio

[math]\frac{1}{27}[/math]

[math]b^6y^6[/math]

[math]x^6+64[/math]

[math]2a^5-250a^2[/math]

[math]3m^3x^6-3[/math]

[math]y^9-8[/math]

Risposte

ciampax

28 lug 2009, 12:37

E' una cosa abbastanza semplice: la formula del quadrato di binomio è

[math](A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2[/math]

e richiede che, oltre ai quadrati dei due monomi presenti, tu debba far apparire anche il loro doppio prodotto.

Il falso quadrato, invece, è un binomio che si presenta nella forma seguente

[math]A^{2n}\pm B^{2n}[/math]

dove, scrivendo

[math]2n[/math]

all'esponente, si sottolinea che l'esponente stesso sia pari e quindi possa rappresentare un elevamento al quadrato. Ora, in generale, quando si presenta il falso quadrato, più che guardare l'esponente

[math]2n[/math]

bisogna considerare il valore di

[math]n[/math]

. Infatti, valgono le seguenti scomposizioni notevoli:

se

[math]n[/math]

è dispari

[math]X^n+Y^n=(X+Y)(X^{n-1}-X^{n-2} Y+X^{n-3} Y^2-\ldots-X Y^{n-2}+Y^{n-1})[/math]

[math]X^n-Y^n=(X-Y)(X^{n-1}+X^{n-2} Y+X^{n-3} Y^2+\ldots+X Y^{n-2}+Y^{n-1})[/math]

mentre, se

[math]n=2[/math]

[math]X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)[/math]

[math]X^2+Y^2=[/math]

irriducibile (non si può decomporre).

Ti faccio un paio di esempi, poi vedi un po' tu di fare gli altri e li guardiamo:

[math]\frac{1}{27} - b^6 y^6=\left(\frac{1}{3}\right)^3-(b^2 y^2)^3=\left(\frac{1}{3}-b^2y^2\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{b^2 y^2}{3}+b^4 y^4\right)[/math]

[math]x^6+64=x^6+2^6=x^{2\cdot 3}+2^{2\cdot 3}=(x^2)^3+(2^2)^3=(x^2+4)(x^4+4x^2+16)[/math]

Ora prova con gli altri.

morettinax

28 lug 2009, 12:53

[math]y^9-8=(y-2)(y^2-8y-64)[/math]

esce così?

BIT5

28 lug 2009, 13:48

Considera che hai

[math] ((y^2)^3-2^3) [/math]

e segui quello che ti ha scritto Ciampax!

ci sono sia errori di "potenze" che di segni...

Quando hai una differenza, il primo binomio è una differenza, il polinomio è tutto con i segni +.

Quando hai una somma, il primo binomio è una somma e il polinomio presenta i segni negativi "alternati"

morettinax

28 lug 2009, 14:36

[math]x^6+a^3=(x^2)^3+(a)^3=(x^2+a)(x^4+ax^2+a^2)[/math]

[math]27a^3+b^6c^9=(3a)^3+(b^2c^3)^3=(3a+b^2c^3)(9a^2+3ab^2c^3+b^4c^9)[/math]

[math]y^3+8=(y)^3+(2)^3=(y+2)(y^2+2y+4)[/math]

vanno bn?

BIT5

28 lug 2009, 14:39

morettinax:

[math]x^6+a^3=(x^2)^3+a^3=(x^2+a)(x^4-ax^2+a^2)[/math]

Te l'ho corretta.
Forza che ci sei quasi!
(c'era un errore di segno e mancava un pezzo nella prima uguaglianza..)

morettinax

28 lug 2009, 14:42

morettinax:

[math]x^6+a^3=(x^2)^3+(a)^3=(x^2+a)(x^4+ax^2+a^2)[/math]

[math]27a^3+b^6c^9=(3a)^3+(b^2c^3)^3=(3a+b^2c^3)(9a^2+3ab^2c^3+b^4c^9)[/math]

[math]y^3+8=(y)^3+(2)^3=(y+2)(y^2+2y+4)[/math]

[math]3x^4+81x=(x)^4+(3)^4=(x+3)(x^2+3x+9)[/math]

vanno bn?

BIT5

28 lug 2009, 16:32

Continuano ad esserci errori di segno..

In NESSUNO sviluppo i segni sono tutti positivi.

inoltre nell'ultima, devi considerare che e' una somma di termini alla quarta (anche se credo che il secondo termine sia 81 e non 81x.)

Proviamo a vederla in una prospettiva "mnemonica"

Quando hai, ad esempio

[math] x^5+y^{10} [/math]

prova a risolverla cosi':

1)

Ti scrivi tutto in funzione di somma di basi elevate alla stessa potenza

[math] x^5+(y^2)^5 [/math]

Poi scrivi il primo fattore (che e' somma delle basi)

[math] (x+y^2)(...........................) [/math]

poi prendi il primo addendo e cominci a scriverla partendo dall'esponente massimo -1 (in questo caso 4) e via via decrescendo

[math](x+y^2)(x^4......x^3......x^2......x^1.......x^0)[/math]

prendo il secondo addendo e lo scrivo dall'esponente minimo (0) fino a quello massimo -1 (4), accostandolo a quanto gia' scritto

[math](x+y^2)(x^4(y^2)^0......x^3(y^2)^1.......x^2(y^2)^2......x^1(y^2)^3......x^0(y^2)^4)[/math]

considerando che tutti i valori elevati alla 0 danno 1, avro'

[math](x+y^2)(x^4......x^3(y^2)^1.......x^2(y^2)^2......x^1(y^2)^3......(y^2)^4)[/math]

Ora inserisco i segni, ricordando di alternarli

[math](x+y^2)(x^4-x^3(y^2)^1+x^2(y^2)^2-x^1(y^2)^3+(y^2)^4)[/math]

Eseguo gli elevamenti a potenza per eliminare le potenze di potenze

[math](x+y^2)(x^4-x^3y^2+x^2y^4-xy^6+x^4y^{8}) [/math]

Ecco fatto!

Se invece ho una differenza, e' ancora piu' semplice. Perche' il primo binomio avra' segno -, mentre il polinomio avra' tutti segni + (e quindi non dovrò alternare i segni).

Spero di esserti stato d'aiuto.