Esercizi di goniometria (62359)

[ale92_ale]

Ciao! Avrei alcune domande di matematica…potete aiutarmi per favore? Grazie
tg^4-4tg^2x+3=0 allora ho risolto l’equazione e mi viene
tgx=+- rad3
tgx=+-1
Che sarebbe
Tgx=+-60° +k180°
Tgx=+-45°+k180°
E riporta…però il mio professore non vuole che lasciamo gli angoli negativi..ma dobbiamo trasformarli in positivo…come si fa? Tipo un angolo è 60° e l’altro -60° quindi 300° ??

- 3cos^2x+ 2 sen^2x –tg^2x=3/2
Ho svolto l’equazione trasformando la tg in sen^2x/cos^2x e ho diviso per cos^2x ma devo porre
Cos^2 diverso da 0 ??
Poi il risultato viene senx=+-45°+k180°
Quindi come trasformo l’angolo -45°? E poi perché +k180° e non k360°?

- Poi questo esercizio non mi riporta proprio:
cos2x+cosx-senx=0
io ho fatto:
cos^2x-sen^2+cosx-senx=0
1-sen^2x-sen^2x +cosx-senx=0
Però non so più andare Avanti!!


Grazie millee!!

Aggiunto 12 ore 43 minuti più tardi:

Grazie! Si scusa + senza il meno...

Aggiunto 5 ore 5 minuti più tardi:

Grazie mille =) tutto chiaro! Solo che quando risolvo gli esercizi non mi viene mai in mente di elevare al quadrato o cose del genere...
Visto che lunedì ho il compito, mi sto esercitando parecchio ..ma non tutti gli esercizi mi riportano!
Potresti aiutarmi ancora per favore?? Grazie

[math]senx=2tgx[/math]

Allora cos≠0 quindi x≠90°+k180°

senx= 2senx/cosx

senx cosx-2senx=0
senx(cosx-2)=0
senx=0
cosx=2 Impossibile
x=k180°
E' giusto fare così??

Poi:
cos(x+3°)=-cos(x+1°)
poichè cos(180°-x)=-cosx

cos(x+3°)=cos[180°-(x+1)]
ho fatto i vari conti e mi viene
x+3°=179°-x --->x=88+k180° e riporta
poi l'altra soluzione viene:
x+3°=360°-179°+x+k360° ed è impossibile giusto?
Poi un'altra cosa..non capisco perchè se ho il seno per trovare la seconda soluzione devo fare 180°- (angolo)
mentre se ho il coseno (come in questo caso) devo fare 360°-179°

Ultima domanda XD
L'esercizio cos2x=-sen3x
non mi riporta...
anche qui essendo cos(270°-x)=-senx

cos2x=cos(270°-3x)
2x=270-3x+k360°
e 2x=360°-270°+3x+k360°
quindi -x=90°+k360° , posso cambiare i segni? verrebbe quindi x=-90°-k360° ossia x=270°-k360° giusto??

Invece per quanto riguarda le formule di duplicazione, di somma e differenza di seno,coseno e tangente , devo ricordali a memoria? perchè ho visto che servono molto..ma è impossibile saperli a memoria! E a ricavarli ci vuole troppo tempo!!

Scusa le tantissime domande!! Grazie mille ancora =) =) ciaoo

Aggiunto 3 ore 48 minuti più tardi:

Grazie mille!! =) ora mi è tutto più chiaro!
grazie ancora

[BIT5]

Ti rispondo alla prima domanda.

Esatto! se un angolo e' -60, portato nel primo angolo giro (ovvero da 0 a 360) sara' sufficiente aggiungere 360 gradi e quindi 300


Seconda domanda.

devi porre cos^2 x diverso da zero, e quindi x diverso da 90 + kpigreco, condizione comunque gia' discussa dal momento che hai tg x

Anche qui, -45+360 = 315.

Ora la svolgo e ti rispondo perche' il periodo e' k180 e non k360..

Aggiunto 48 secondi più tardi:

(ovviamente ho scritto 90+kpigreco ma e' 90 + k180)

Aggiunto 9 minuti più tardi:

Scusami, ma la seconda:

il "-" che hai messo davanti e' perche' il testo e'

[math] -3 \cos^2 x ..... [/math]

????

Sicura che non sia senza il meno davanti?

Aggiunto 15 ore 52 minuti più tardi:

La seconda e':

[math] 3 \cos^2 x + 2 \sin^2 x - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac32 [/math]

Minimo comune multiplo (che e'

[math] 2 \cos^2 x [/math]

)

[math] \frac{6 \cos^4 x + 4 \sin^2x \cos^2x -2 \sin^2x}{2\cos^2x}= \frac{3 \cos^2x}{2 \cos^2x} [/math]

Posto

[math] \cos^2 x \ne 0 \to x \ne 90 + k360 \cup x \ne 270 + k360 \to x\ne90 + k180 [/math]

(Quando hai due angoli esclusi controlla se sono periodici tra loro. Siccome 90+180=270 allora puoi "comprimere" il periodo riassumendolo in k180)

Eliminiamo il denominatore e portiamo la quantita' da destra a sinistra cambiandone il segno

[math] 6 \cos^4 x + 4 \sin^2x \cos^2x -2 \sin^2x - 3 \cos^2 x = 0 [/math]

Trasformiamo tutti i

[math] \sin^2x = 1- \cos^2 x [/math]

[math] 6 \cos^4 x + 4 (1- \cos^2 x) \cos^2x -2 (1- \cos^2x) - 3 \cos^2 x = 0 [/math]

E dunque calcolando

[math] 2 \cos^4 x +3 \cos^2 x -2 = 0 [/math]

Posto

[math] t= \cos^2 x [/math]

avremo

[math] 2t^2+3t-2=0 [/math]

Che ha soluzioni per

[math] t=-2 \cup t= \frac12 [/math]

Torniamo alla sostituzione

[math] \cos^2 x = -2 \to \cos x = \pm \sqrt{-2} [/math]

che non ha significato in quanto la radice di -2 non esiste

[math] \cos^2 x = \frac12 \to \cos x = \pm \sqrt{\frac12} = \pm \frac{\sqrt2}{2} [/math]

Da cui

[math] \cos x = \frac{\sqrt2}{2} \to x=45 + k360 \cup x=315 + k 360 [/math]

[math] \cos x = - \frac{\sqrt2}{2} \to x=135 + k360 \cup x= 225 + k 360 [/math]

Le soluzioni (tralasciando un attimo il periodo) sono

45,135,225,315

Esse stanno tra di loro a meno di 90 gradi (cioe' se aggiungi 90 gradi a 45, di volta in volta tocchi tutti gli altri valori)

La soluzione sintetica finale sara'

[math] x=45 + k90 [/math]

Oppure se vuoi esprimere in funzione di due angoli consideri

45 e 225 (che sono 45 e 45+180)

135 e 315 (che sono 135 e 135+180)

E dunque

[math] x=45+k180 \cup x=135 + k180 [/math]

La prima soluzione che ti ho scritto e' la piu' corretta.

Aggiunto 14 minuti più tardi:

La terza.

Una volta scritto

[math] \cos^2 x - \sin^2 x + \cos x - \sin x = 0 [/math]

Consideri il prodotto notevole

[math] a^2-b^2=(a+b)(a-b) [/math]

Avremo

[math] \(\cos x - \sin x \) \(\cos x + \sin x \) + 1 \(\cos x - \sin x \) = 0 [/math]

Da cui raccogliendo a fattore parziale:

[math] \(\cos x - \sin x \)(\cos x + \sin x +1 ) = 0 [/math]

e' un prodotto quindi risolviamo fattore per fattore:

[math] \cos x - \sin x = 0 [/math]

dividi per cos x (x diverso da 90 + k180) e ottieni

[math] 1 - \tan x = 0 \to \tan x = 1 \to x= 45 + k180 [/math]

Mentre l'altro fattore

[math] \cos x + \sin x = -1 [/math]

Elevi al quadrato

[math] \cos^2 x + \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 [/math]

Scrivi

[math] 1= \sin^2 x + \cos^2 x [/math]

[math] \cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x [/math]

Rimane

[math] 2 \sin x \cos x = 0 [/math]

Che e' un prodotto...

[math] \sin x = 0 \to x= 0 + k180 \\ \\ \\ \cos x = 0 \to x=90 + k180 [/math]

Attenzione pero'... elevando al quadrato abbiamo inserito delle soluzioni non ammesse.

Infatti delle 4 trovate, due soddisfano l'equazione che, elevata al quadrato, avrebbe portato allo stesso risultato (ovvero sin x + cos x = -1 )

Verificando troverai che le uniche due soluzioni sono x=90+k360 e x=0 + k360

Unite alle precedenti, la soluzione finale dell'equazione sara'

[math] x=k360 \cup x=45+k180 \cup x=90+k360 [/math]

Se hai dubbi chiedi :)

Aggiunto 28 minuti più tardi:

senx=2tanx

E' giusta :)

Poi.....

Aggiunto 2 minuti più tardi:

La successiva e' giusta...

Per rispondere alla tua domanda devi guardare la circonferenza goniometrica...

Il seno di un angolo e' il valore dell'ordinata dell'angolo..

I due angoli che hanno lo stesso seno sono x e il suo simmetrico rispetto all'asse y (ovvero 180-x)

Il coseno e' l'ascissa. I due angoli che hanno lo stesso coseno sono simmetrici rispetto all'asse x, quindi x e 360-x

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Il successivo anche direi che e' corretto...

Anche se non mi hai scritto il finale della prima soluzione

(ovvero 5x=270+k360 ovvero x=270/5+k360/5)

Le formule di addizione duplicazione ecc... sono da studiare a memoria...

Non c'e' altro modo...

Aggiunto 1 minuti più tardi:

L'unica cosa che puoi evitare di imparare a memoria, sono gli archi associati (la riduzione al primo quadrante)

A quello puoi arrivare per logica, anche se ci vuole qualcuno "fisico" che ti faccia capire il modo, perche' io da qui non riuscirei ;)