Equazioni goniometriche riducibili a equazioni elementari

[a.antonella94]

potrei avere suggerimenti a proposito di questa equazione? sen(x- pigreco/6) + cos(x+ 2/3 * pigreco) + cos2x=0 è un'equazione goniometrica riducibile a un'equazione elementare

[BIT5]

avete fatto le formule di addizione e sottrazione?

[a.antonella94]

sisi :)

[BIT5]

allora e' semplice dai..

ricordando le formule di :

addizione del coseno:

[math] \cos (x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y [/math]

avremo che

[math] \cos \(x+ \frac23 \pi \)= \cos x \cos \frac23 \pi - \sin x \sin \frac23 \pi [/math]

e quindi dal momento che

[math] \cos \frac23 \pi = - \frac12 \\ \\ \\ \sin \frac23 \pi = \frac{\sqrt3}{2} [math]

avremo

[math] - \frac12 \cos x - \frac{\sqrt3}{2} \sin x [/math]

Ricordando poi le formule di sottrazione del seno

[math] \sin (x-y) = \sin x \cos y - \sin y \cos x [/math]

avremo che

[math] \sin \(x- \frac{\pi}{6} \) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} - \sin y \cos \frac{\pi}{6} [/math]

e quindi siccome

[math] \sin \frac{\pi}{6} = \frac12 \\ \\ \\ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2} [/math]

avremo

[math] \frac{\sqrt3}{2} \sin x - \frac12 \cos x [/math]

Infine per la formula di duplicazione del coseno

(che altro non e' che

[math] \cos 2x = \cos (x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x [/math]

(cosi' anche se non la ricordi, puoi sempre ricavartela)

avremo che l'equazione finale diverra'

[math] \no{ \frac{\sqrt3}{2} \sin x} - \frac12 \cos x - \frac12 \cos x - \no{\frac{\sqrt3}{2} \sin x} + \cos^2 x - \sin^2 x [/math]

e quindi

[math] - \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x = 0 [/math]

Utilizzando la regola fondamentale della trigonometria

[math] \sin^2 x=1- \cos^2 x [/math]

sostituiamo

[math] - \cos x + \cos^2 x - \(1- \cos^2 x \)=0 [/math]

e quindi

[math] 2 \cos^2 x - \cos x -1 =0[/math]

Posto

[math] t= \cos x [/math]

avremo

[math] 2t^2-t-1=0 [/math]

che ha soluzioni per

[math] t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} [/math]

da cui quindi

[math] t_1 = 1 \ \ \ \ \ \ \ t_2 = - \frac12 [/math]

ritornando alla sostituzione in t

[math] \cos x = 1 \to x = 2k \pi [/math]

mentre il coseno vale -1/2 per due angoli, ovvero

[math] x = \frac23 \pi + 2k \pi \\ \\ x= \frac43 \pi +2k \pi [/math]

se hai dubbi chiedi pure :)

[a.antonella94]

Grazie mille, sono andata in confusione appena ho visto quelle parentesi :D

Aggiunto 1 ora 26 minuti più tardi:

scusa non riesco a capire la scrittura
\frac{\sqrt3}{2} \sin x - \frac12 \cos x [/math]
illuminami!

[BIT5]

ho corretto :)