Equazione complessa con parametro.

[miik91]

Determinare le soluzione della seguente equazione in modo che abbia almeno una soluzione di modulo 2:

[math]{z^5=k\bar{z}}[/math]

[ciampax]

Mmmmmm......

Allora, tu vuoi che almeno una soluzione abbia modulo due: cioè

[math]|z|=2[/math]

. Ora, ricorda che

[math]|\bar{z}|=|z|,\qquad |z^n|=|z|^n[/math]

e quindi

[math]|z|^5=|k|\cdot |z|\ \Rightarrow\ |k|=|z|^4=16[/math]

Questo vuol dire che, se

[math]k\in\mathbb{R}[/math]

, allora

[math]k=\pm 16[/math]

.
Se invece

[math]k\in\mathbb{C}[/math]

allora, posto

[math]k=a+ib[/math]

deve essere

[math]\sqrt{a^2+b^2}=16[/math]

per cui hai infinite possibilità di scelta, ovvero tutti i numeri complessi che si trovano sulla circonferenza di centro l'origine e raggio

[math]16[/math]

.

A questo punto però, se vuoi risolvere l'equazione con la forma algebrica dei numeri complessi, puoi anche comprare una pistola e spararti, perché viene fuori un sistema di due equazione di grado 5 difficilmente semplificabili.

Se vuoi ti scrivo la soluzione con la forma esponenziale.

[miik91]

no grazie non serve, come sempre sei stato perfetto. K è un reale quindi mi serve il primo ragionamento; in effetti non pensavo fosse così semplice, ma soprattutto perchè non ero a conoscenza delle annotazione che hai fatto come premessa e che credo potrebbero essermi utile, quindi infinitamente grazie due volte!!

[ciampax]

Sono le proprietà fondamentali del modulo di un numero complesso. Le puoi dimostrare molto facilmente.

[miik91]

aspetta però guardando meglio ho notato che c è una cosa che non mi è molto chiara:
tu hai scritto che

[math]{|z^5|=|z|^5}[/math]

, però nella traccia c è z^5 ma non credo che

[math]{z^5=|z|^5}[/math]

, non so se mi sono spiegato...dov è che sbaglio ??? hai fatto il modulo di tutti i valori per caso??

[ciampax]

Naaaa.....

Una formual ti dice che

[math]|z^n|=|z|^n[/math]

per qualsiasi

[math]n[/math]

. Ho usato quella.

[miik91]

si quel passaggio l ho capito, il fatto è che nella traccia non ho il modulo di z^5, ma solo z^5!

[ciampax]

Allora non hai seguito il mio ragionamento: io ho preso la tua equazione e ne ho fatto il modulo, anche perché è quello che ti interessava.

[miik91]

ah ecco mi ero perso il fatto che avessi fatto il modulo di tutta l equazione, ora è tutto chiaro. Grazie mille!!!