Ellisse e circonferenza
salve a tutti avrei delle domande, potete rispondermi perfavore?:
se io devo scrivere l'equazione di una circonferenza tangente in un punto A alla rettaa di equazione 3x+2y+4=0 e avente il centro C appartenente alla retta passante per (0;6) e perpendicolare alla retta y=1/3x
come la trovo?
io ho pensato di mettere a sistema :il passaggio di A per la ciconferenza
poi le coordinate di C (-a/2;-b/2) nella retta passante per (0;6) e poiil delta=0 tra la generale e la prima retta
poi c'è questo problema:
scrivi l'equazione dell'ellise con i fuochi appartenenti all'asse delle ascisse, di eccentricità e=rad3/2 e semiasse maggiore a=2rad5. Le rette tangenti all'ellisse, condotte dal punto P(-2;3), la toccano nei punti A e B; calcola l'area del triangolo PAB
trovo l'equazione che è: x^2+y^2-20=0, dopo di che ottengo le coordinate dei punti che sono A(-4;2) B(2;2), po trovo la base AB e l'altezza che dovrebbe essere la distanza di P dalla retta AB ma nn mi esce. perchè? l'area dovrebbe uscire 5
se io devo scrivere l'equazione di una circonferenza tangente in un punto A alla rettaa di equazione 3x+2y+4=0 e avente il centro C appartenente alla retta passante per (0;6) e perpendicolare alla retta y=1/3x
come la trovo?
io ho pensato di mettere a sistema :il passaggio di A per la ciconferenza
poi le coordinate di C (-a/2;-b/2) nella retta passante per (0;6) e poiil delta=0 tra la generale e la prima retta
poi c'è questo problema:
scrivi l'equazione dell'ellise con i fuochi appartenenti all'asse delle ascisse, di eccentricità e=rad3/2 e semiasse maggiore a=2rad5. Le rette tangenti all'ellisse, condotte dal punto P(-2;3), la toccano nei punti A e B; calcola l'area del triangolo PAB
trovo l'equazione che è: x^2+y^2-20=0, dopo di che ottengo le coordinate dei punti che sono A(-4;2) B(2;2), po trovo la base AB e l'altezza che dovrebbe essere la distanza di P dalla retta AB ma nn mi esce. perchè? l'area dovrebbe uscire 5
Risposte
Per risolvere il primo esercizio:
i dati che hai scritto, presuppongono una serie infinite di circonferenze che hanno il centro che giace su una retta.
Poi hai un'altra retta su cui giace il punto A di tangenza.
Se non hai altri dati, secondo me, vengono infinite circinferenze. Ovviamente ogni circonferenza avrà un raggio minore se prendiamo un centro vicino al punto di intersezione tra le due rette e via via sempre più grande quando ci allontaniamo. Pertanto, secondo me, se non hai un altro dato, il problema dà luogo ad un fascio di circonferenze.
la retta su cui giace il centro ha equazione y=-3x+6
Quindi le coordinate del centro saranno
Pertanto
Dalla seconda otteniamo che
E quindi
Ovvero
Poi sappiamo che la distanza del centro dal punto A è uguale al raggio.
Pertanto poniamo che la distanza tra il centro e la retta passante per A sia uguale al raggio espresso in funzione di a,b,c, della circonferenza
Troveremo c in funzione di x del centro e quindi di b.
i dati che hai scritto, presuppongono una serie infinite di circonferenze che hanno il centro che giace su una retta.
Poi hai un'altra retta su cui giace il punto A di tangenza.
Se non hai altri dati, secondo me, vengono infinite circinferenze. Ovviamente ogni circonferenza avrà un raggio minore se prendiamo un centro vicino al punto di intersezione tra le due rette e via via sempre più grande quando ci allontaniamo. Pertanto, secondo me, se non hai un altro dato, il problema dà luogo ad un fascio di circonferenze.
la retta su cui giace il centro ha equazione y=-3x+6
Quindi le coordinate del centro saranno
[math]C(x_c,-3x_c+6)[/math]
Pertanto
[math]- \frac{a}{2}=x_c \\ - \frac{b}{2}=-3x_c+6{[/math]
Dalla seconda otteniamo che
[math]x_c= \frac{-b-12}{6}[/math]
E quindi
[math]- \frac{a}{2}= \frac{-b-12}{6}[/math]
Ovvero
[math]a= \frac{b+12}{3}[/math]
Poi sappiamo che la distanza del centro dal punto A è uguale al raggio.
Pertanto poniamo che la distanza tra il centro e la retta passante per A sia uguale al raggio espresso in funzione di a,b,c, della circonferenza
Troveremo c in funzione di x del centro e quindi di b.
Non ho capito la parte della distanza uguale al raggio; potresti scrivermi tutta questa parte sotto forma si formula come in precedenza??
Grazie della risposta precedente.
Grazie della risposta precedente.
i dati che hai scritto, presuppongono una serie infinite di circonferenze che hanno il centro che giace su una retta.
Poi hai un'altra retta su cui giace il punto A di tangenza.
Se non hai altri dati, secondo me, vengono infinite circonferenze. Ovviamente ogni circonferenza avrà un raggio minore se prendiamo un centro vicino al punto di intersezione tra le due rette e via via sempre più grande quando ci allontaniamo. Pertanto, secondo me, se non hai un altro dato, il problema dà luogo ad un fascio di circonferenze.
Controlli, per cortesia, di aver scritto tutti i dati?
Poi hai un'altra retta su cui giace il punto A di tangenza.
Se non hai altri dati, secondo me, vengono infinite circonferenze. Ovviamente ogni circonferenza avrà un raggio minore se prendiamo un centro vicino al punto di intersezione tra le due rette e via via sempre più grande quando ci allontaniamo. Pertanto, secondo me, se non hai un altro dato, il problema dà luogo ad un fascio di circonferenze.
Controlli, per cortesia, di aver scritto tutti i dati?
Si ho scirtto tutti i dati...
Mi è venuto il dubbio che mancassero dei dati, e ti spiego perchè:
Per curiosità fai questa prova:
traccia su un foglio una retta caso, su cui dobbiamo prendere il centro della circonferenza.
Le circonferenze che puoi tracciare sono infinite.
Ora traccia un'altra retta, secante con questa, e prova a disegnare circonferenze tangenti a questa e aventi il centro sull'altra retta.
Se noti, ne puoi tracciare infinite!
Come detto prima, avremo un fascio di circonferenze.
io ti posto la soluzione che ho trovato io.
Dal pezzo che ti ho scritto sopra, abbiamo ottenuto che la circonferenza è
Adesso sappiamo che il raggio è
Ma sappiamo anche che il raggio, essendo A sulla retta tangente alla circonferenza, è anche la distanza tra il centro e la retta.
Il centro abbiamo detto che ha coordinate
Ovvero
La distanza tra il centro e la retta (di equazione 3x+2y+4=0)sarà
che dovrà essere eguagliata con
Sostituisci ad a il valore che abbiamo trovato in funzione di b.
Esegui i quadrati dei binomi sotto radice, poi elevi al quadrato ambo i membri dell'uguaglianza e trovi un fascio di circonferenze in funzione del parametro b.
Per curiosità fai questa prova:
traccia su un foglio una retta caso, su cui dobbiamo prendere il centro della circonferenza.
Le circonferenze che puoi tracciare sono infinite.
Ora traccia un'altra retta, secante con questa, e prova a disegnare circonferenze tangenti a questa e aventi il centro sull'altra retta.
Se noti, ne puoi tracciare infinite!
Come detto prima, avremo un fascio di circonferenze.
io ti posto la soluzione che ho trovato io.
Dal pezzo che ti ho scritto sopra, abbiamo ottenuto che la circonferenza è
[math]x^2+y^2+ \frac{b+12}{3}x+by+c=0[/math]
Adesso sappiamo che il raggio è
[math]\sqrt{(- \frac{a}{2}^2) + (- \frac{b}{2})^2-c}[/math]
Ma sappiamo anche che il raggio, essendo A sulla retta tangente alla circonferenza, è anche la distanza tra il centro e la retta.
Il centro abbiamo detto che ha coordinate
[math](x_c,-3x_c+6)[/math]
Ovvero
[math]( \frac{-b-12}{6}, - \frac{b}{2})[/math]
La distanza tra il centro e la retta (di equazione 3x+2y+4=0)sarà
[math]\frac{|3 \frac{-b-12}{6}+2 \frac{-b}{2} +4|}{ \sqrt{3^2+2^2}}[/math]
che dovrà essere eguagliata con
[math]\sqrt{(- \frac{a}{2}^2) + (- \frac{b}{2})^2-c}[/math]
Sostituisci ad a il valore che abbiamo trovato in funzione di b.
Esegui i quadrati dei binomi sotto radice, poi elevi al quadrato ambo i membri dell'uguaglianza e trovi un fascio di circonferenze in funzione del parametro b.
Per il secondo problema, il metodo che usi è giusto, ma mi sa che hai sbagliato l'equazione dell'ellisse! Se
[math]a=2\sqrt{5}[/math]
ed [math]e=c/a=\sqrt{3}/2[/math]
ne segue [math]c=\sqrt{15}[/math]
e quindi [math]b^2=a^2-c^2=20-15=5[/math]
. Quindi l'equazione dell'ellisse è[math]\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1[/math]
.
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