Dato il fascio di rette trovare le intersezioni al segmento OA

[rossiandrea]

Ciao, sto provando a risolvere il seguente problema:
Dato il fascio

[math](2k-1)x+(k+3)y-k+1=0[/math]

e il punto

[math]A=(1;0)[/math]

Determinare le rette che intersecano OA.
Facendo passare il fascio di rette per A viene

[math]k = 0[/math]

e facendolo passare per O viene

[math]k = 1[/math]

.
Non capisco però il passaggio che si fa da lì al risultato che viene dato come soluzione

[math]0\le k\le1[/math]

. Chi mi assicura che il valore di k è compreso tra 0 e 1 e non è invece

[math]k\le0[/math]

e

[math]k\ge1[/math]

?

[Matefisico]

Infatti dovrebbe venire k≤0 e k≥1
Se dai a k per esempio 1/2, vedrai che verrà la retta Y = -1/7 che sicuramenre non passa pe OA....

[mc2]

Prima di tutto una domanda: per OA intendi il segmento o la retta?

Rispondo assumendo che si parli del segmento OA.

Metodo rozzo, spiccio e pratico (ma non rigoroso: se lo usi in un compito probabilmente ti viene segnato errore... usalo solo in brutta per fare un controllo veloce!):

Prova a usare

[math]k=\frac{1}{2}[/math]

e vedi se la retta che ottieni interseca OA: se si` allora scegli

[math]0\le k\le 1[/math]

, se non lo interseca allora scegli

[math]k\le 0[/math]

e

[math]k \ge 1[/math]

In questo caso, se usi

[math]k=\frac{1}{2}[/math]

trovi la retta

[math]y=-\frac{1}{7}[/math]

che NON interseca OA, quindi la risposta esatta e`

[math]k\le 0[/math]

e

[math]k \ge 1[/math]

Metodo rigoroso e corretto (da usare nel compito!):

Un generico punto

[math]P[/math]

sul segmento OA ha coordinate

[math](p,0)[/math]

, con

[math]0\le p\le 1[/math]

La retta del fascio che passa per

[math]P[/math]

e`:

[math](2k-1)p-k+1=0[/math]

[math]p=\frac{k-1}{2k-1}[/math]

Imponiamo le condizioni su

[math]p[/math]

, che devono essere soddisfatte simultaneamente:

[math]0\le p\le 1[/math]

[math]p\ge 0~~~~\Rightarrow~~~~ \frac{k-1}{2k-1}\ge 0[/math]

questa disequazione e` soddisfatta per

[math]k< \frac{1}{2}[/math]

oppure

[math]k \ge 1[/math]

[math]p\le 1~~~~\Rightarrow~~~~ \frac{k-1}{2k-1}\le 1[/math]

cioe`

[math]-\frac{k}{2k-1}\le 0[/math]

e questa seconda disequazione e` soddisfatta per

[math]k \le 0[/math]

oppure

[math]k> \frac{1}{2}[/math]

.


Le due disequazioni sono soddisfatte simultaneamente se

[math]k\le 0[/math]

e

[math]k \ge 1[/math]