Come faccio a sapere come fare il dominio di una funzione? quando porre diverso, maggiore, oppure maggiore uguale a zero???

[Amanda1993]

dominio funzione
come faccio a sapere come fare il dominio di una funzione? quando porre diverso, maggiore, oppure maggiore uguale a zero???

Aggiunto 2 ore 42 minuti più tardi:

GRAZIEEEE MILLE!!!!!!!

[BIT5]

Devi valutare tutte le operazioni che prevedono un campo di esistenza (ovvero una limitazione)

Denominatore.

Se hai un denominatore, questo dev'essere diverso da zero

Radice ad indice pari:

l'argomento (radicando) dev'essere maggiore o uguale a zero

Logaritmo:

Argomento maggiore di zero (in senso stretto)

se hai piu' operatori, dovrai fare un sistema che coinvolga tutte le limitazioni.

Ad esempio in

[math] y= \log \( \frac{ \sqrt{x^2+3}-1}{x+ \sqrt{2x}} \) [/math]

Dovrai porre:

Argomento del logaritmo maggiore di zero
poi hai due radici quadrate, quindi radicandi maggiori di zero
e una frazione quindi denominatore diverso da zero.

Il dominio sara' la soluzione del sistema:

[math] \{ \frac{ \sqrt{x^2+3}-1}{x+ \sqrt{2x}}>0 \\ x^2+3 \ge 0 \\ 2x \ge 0 \\ x+ \sqrt{2x} \no{=} 0 [/math]

Ovviamente l'ho inventata ti sconsiglio di risolverla, era solo per farti capire ;)

[ciampax]

Le regole sono abbastanza semplici:

1) se la funzione è un polinomio, il dominio coincide con tutto

[math]\mathbb{R}[/math]

2) se la funzione è della forma

[math]f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}[/math]

il dominio si ottiene ponendo

[math]Q(x)\not= 0[/math]

3) se la funzione è del tipo

[math]f(x)=\sqrt[n]{g(x)}[/math]

allora
i) se

[math]n[/math]

è dispari, il dominio di

[math]f[/math]

coincide con il dominio di

[math]g[/math]

(e quindi basta vedere come è fatta la funzione

[math]g[/math]

)
ii) se

[math]n[/math]

è pari, oltre a calcolare il dominio di

[math]g[/math]

, bisogna anche considerare la condizione

[math]g(x)\ge 0[/math]

.

4) se

[math]f(x)=\log(g(x))[/math]

per determinare il dominio bisogna calcolare il dominio di

[math]g[/math]

e considerare anche la condizione

[math]g(x)>0[/math]

5) se

[math]f(x)=a^{g(x)}[/math]

il dominio di

[math]f[/math]

coincide con il dominio di

[math]g[/math]

6) se

[math]f(x)=\sin(g(x)),\ f(x)=\cos(g(x))[/math]

il dominio di

[math]f[/math]

coincide con il dominio di

[math]g[/math]

; mentre se

[math]f(x)=\tan(g(x))[/math]

per determinare il dominio bisogna calcolare il dominio di

[math]g[/math]

e considerare anche la condizione

[math]g(x)\not= \frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/math]

7) se

[math]f(x)=\arcsin(g(x)),\ f(x)=\arccos(g(x))[/math]

per determinare il dominio bisogna calcolare il dominio di

[math]g[/math]

e considerare anche la condizione

[math]-1\le g(x)\le 1[/math]

; mentre se

[math]f(x)=\arctan(g(x))[/math]

il dominio di

[math]f[/math]

coincide con il dominio di

[math]g[/math]

.


In generale, tenendo presenti queste regole, per calcolare i domini delle funzioni basta partire da quelle più esterne e, mano mano, andare a considerare le condizioni che sono necessarie. Ad esempio se hai

[math]f(x)=\frac{\sqrt{\arcsin(x^2-3)-1}+e^{\tan x}}{\log(x^2-4)-\sqrt[3]{x^2-1}}[/math]

dovrai imporre le condizioni (a sistema)

[math]\log(x^2-4)-\sqrt[3]{x^2-1}\not= 0\\
\arcsin(x^2-3)-1\ge 0\\
x^2-4>0\\
x\not=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}\\
-1\le x^2-3\le 1[/math]