Circonferenza e parabola - Maturità

[Matdz]

Sia k la circonferenza di raggio r e P la parabola passante per i punti A, B estremi di un qualunque diametro della circonferenza con l'asse coincidente con l'asse del segmento AB e tale che l'area del segmento parabolico individuato dalla parola P con il segmento AB sia uguale a 8/3r^2.
Considerato un opportuno sistema di riferimento cartesiano ortogonale si determini
a) l'equazione della circonferenza k.
b) l'equeazione della parabola P.
c) le aree in cui la parabola P divide la circonferenza k.

Ho preso un sistema di assi cartesiani con il centro coincidente all'origine degli assi, così la circonferenza ha equazione x^2+y^2=r^2.
Bisogna risolverlo avendo studiato solo circonferenza e parabola.

Aggiunto 1 ore 5 minuti più tardi:

Innanzitutto grazie mille a tutti e due.
BIT5, solo un piccolo grande problema. Il segmento parabolico lo sappiamo calcolare solo con la formula di Pitagora, quella di 2/3 dell'area del rettangolo.

Aggiunto 27 minuti più tardi:

Sei stato molto gentile, però non sto capendo alcune cose. Potresti spiegarmi bene come mai l'area del rettangolo è uguale ad 8/3r^2? Non ho capito bene come si trova l'altezza di questo rettangolo. E poi un'altra cosa, potresti "risolverlo", ovvero trovare l'equazione della circonferenza e della parabola così disegno su GeoGebra e mi oriento meglio?
Grazie.

[issima90]

Ciao!
Per il punto c devi semplicemente sottrarre alla metà dell'area totale del cerchio che è

[math]\pi r^2[/math]

l'area data dal problema.
quindi

[math]A_1=\frac{\pi}{2}r^2[/math]

:
quella più in alto è

[math]A_2=\frac{\pi}{2} r^2-\frac{8}{3}r^2=\frac{3\pi-16}{3}r^2[/math]

quella centrale A_3è quella data dal problema.

[BIT5]

Io lo farei cosi':

Considera il diametro AB di lunghezza 2r.

Dobbiamo considerare tutti i diametri possibili della circonferenza.
Quindi, se noti, avrai infinite parabole, di cui una con asse verticale (parallelo all'asse y) uno con asse orizzontale (parallelo all'asse x) e infinite con asse obliquo.

La scelta del sistema di assi cartesiani con Origine nel centro della circonferenza, non e' quindi una soluzione "facilitante".

Pertanto secondo me, il sistema di assi e' meglio riferirlo alla parabola.

Una volta trovata la parabola, "collocheremo" la circonferenza.
E ogni diametro della circonferenza scelto, sara' sempre parallelo all'asse x e la parabola con asse parallelo all'asse y.

Nulla ci vieta, dunque, di collocare il vertice della parabola nell'origine degli assi.

La parabola sara' dunque della forma

[math] y= ax^2 [/math]

E siccome l'asse di simmetria della parabola e' asse del diametro scelto, avremo che la circonferenza sara' simmetrica all'asse y.

Il centro della circonferenza k, dunque, avra' x=0, perche' per esso (punto medio del diametro) passa l'asse della parabola che abbiamo imposto essere l'asse y.

Il diametro scelto avra' estremi (ripeto, una volta scelto il diametro "ruotiamo" il sistema di assi in modo tale che il diametro giaccia sull'asse x)

[math] A(r,y_A) \ \ \ B(-r,y_B) [/math]

Sappiamo che l'Area del segmento parabolico e' data da

[math] A= \frac{|a|}{6} (x_A-x_B)^3 [/math]

da cui, facendo i dovuti calcoli, otteniamo

[math] \frac{8}{3} r^2 = \frac{|a|}{6} (r--r)^3 [/math]

e dunque

[math] |a|= \frac{2}{r} \to a= \pm \frac{2}{r} [/math]

Le due parabole saranno dunque

[math] y=\frac{2}{r}x^2 \ \ \ y=- \frac{2}{r}x^2 [/math]

.

Calcoliamo ora l'equazione della circonferenza:

Ribadiamo che il centro della circonferenza giace sull'asse x.

Inoltre ribadiamo che il diametro scelto ha condizionato la scelta del sistema di assi, che abbiamo "adattato" al diametro (asse x parallelo ad esso, asse y perpendicolare). Poi la parabola ha stabilito l'asse y passante per il centro della circonferenza e l'asse x sul vertice della parabola.

Quindi siccome la parabola passa per A e per B (e ricordiamoci che la parabola avente asse coincidente con l'asse y e' simmetrica ad esso) i punti A e B avranno ordinata uguale (le ascisse di A e di B sono rispettivamente -r ed r )e cioe'

[math] y=\frac{2}{r}x^2 \to y=\frac{2}{r}r^2 \to y=2r [/math]

E siccome il centro della circonferenza sta nel punto medio di AB anch'esso avra' y=2r.

Detto questo, dunque, possiamo ricavare la circonferenza in piu' modi:

- il centro sta sull'asse y, pertanto x=0 e pertanto, ricordando l'equazione canonica della circonferenza,

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

avremo -a/2=0 da cui a=0

ponendo che l'ordinata del centro sia 2r (e quindi

[math] y_C=- \frac{b}{2} \to 2r=- \frac{b}{2} \to b=-4r [/math]

E dunque sapendo che il raggio si calcola (lo chiamo R per non confonderci)

[math] R= \sqrt{ \(- \frac{a}{2} \)^2 + \( - \frac{b}{2} \)^2 - c} [/math]

Sostituiamo (il raggio e' r)

[math] r= \sqrt{4r^2-c} \to r^2= 4r^2-c \to c=3r^2 [/math]

E quindi l'equazione della circonferenza sara':

[math] x^2+y^2-4ry+3r^2=0 [/math]

- oppure piu' semplicemente potevamo ricordare la formula della circonferenza traslata

[math] (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 [/math]

siccome la traslazione e' data anche dal centro, abbiamo

[math] x_0=0 \ \ \ \ y_0=2r [/math]

e quindi

[math] x^2+(y-2r)^2=r^2 \to x^2+y^2-4ry+4r^2-r^2=0 \to \\ \to x^2+y^2-4ry+3r^2=0 [/math]

Dimmi se ci sei e se riesci a finirlo da solo.

ricordati che c'e' un'altra parabola, pero'...

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Attenzione issima perche' il segmento parabolico non e' tutto contenuto nella circonferenza.

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Mi scrivi la formula, per favore, che non la ricordo?

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Ah si, ok, mi e' venuta in mente.

Allora, per quanto detto sopra, il rettangolo in questione avra':

Come base il diametro della circonferenza;
come altezza, la distanza dal vertice al centro della circonferenza (se fai un disegno, lo capisci meglio: parabola con vertice in O, centro della circonferenza sull'asse y e parabola passante per gli estremi del diametro orizzontale)

Quindi avremo che la base e' = ad AB = 2r

E pertanto l'area del segmento parabolico sara':

[math] \frac83 r^2 = \frac23 2r \cdot y_C \to y_C=2r [/math]

Che e' la stessa cosa che ti ho detto prima.

dunque la parabola passera' per i punti (r,2r) e (-r,2r) e pertanto

[math] y=ax^2 \to 2r=ar^2 \to a= \frac{2}{r} [/math]

La parabola torna ad essere quella trovata prima :)

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Ricordati pero' della situazione speculare: 2r e' l'altezza del rettangolo.

I rettangoli di base 2r (con base fissa sull'asse x, dal momento che il vertice giace sull'asse x) e altezza 2r (che poi' e' un quadrato) sono 2..

Uno sopra l'asse x (che quindi ha la y della retta parallela ovvero del diametro AB) = 2r e un altro che sta sotto l'asse x, a pari distanza, e che quindi identifica la retta y=-2r

Aggiunto 3 minuti più tardi:

E quindi per sostituzione alla prabola generica

[math] y=ax^2 [/math]

da' origine alle due parabole

[math] y= \frac{2}{r}x^2 \ \ e \ \ y=- \frac{2}{r}x^2 [/math]

Considera pero' che parliamo di due parabole speculari. E pertanto possiamo tranquillamente sceglierne una sola e studiarla. Perche' ti ricordo che il sistema di assi l'abbiamo scelto noi per comodita'.

E siccome il diametro AB "ruota" (e noi di conseguenza "ruotiamo" il sistema di assi) dopo un giro di 180 gradi la parabola con concavita' verso il basso, sara' la parabola con concavita' verso l'alto e viceversa. Quindi puoi tranquillamente studiarne una sola.

Tanto l'altra dara', ovviamente, gli stessi valori di superficie richiesti al punto c.

Aggiunto 25 minuti più tardi:

Allora:

rispondo alla tua prima domanda:

il rettangolo ha base = diametro della circonferenza
Altezza sconosciuta.

Ma siccome la base e' parallela all'asse x, l'altezza sara' "verticale".
E siccome il vertice della parabola sta sull'origine, l'altezza del rettangolo (che e' la distanza tra le due basi del rettangolo che sono rispettivamente la retta passante per il vertice (che sta sull'origine) e la retta che chiude il segmento parabolico (ovvero il diametro della criconferenza).

2/3 dell'area del rettangolo sono il segmento parabolico, la cui superficie te la da' il problema.. Effettivamente, nonostante il risultato scritto fosse corretto, mi sono dimenticato di moltiplicare per 2/3.

Ora ho corretto.

b) il fatto che tu mi chieda le equazioni di parabola e circonferenza, mi lascia un po' perplesso...

Perche' te le ho gia' scritte!

Comunque:

[math] y= \frac{2}{r} x^2 [/math]

e' la parabola

[math] x^2+y^2-4ry+3r^2=0 [/math]

e' l'equazione della circonferenza.

Se vuoi "vedere" che succede su Geogebra, poni r=a quello che vuoi e disegna, ad esempio:

[math] y=2x^2 [/math]

[math] x^2+y^2-4y+3=0 [/math]

Casi particolari dell'esercizio in cui r=1