Altro problema con le parabole

[victorinox]

Buon giorno a tutti,
la prof ci ha assegnato 5 problemi sulle parabole, ma gli ultimi 3 sono più difficili e non so proprio come cominciare :con
qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
grazie a tutti.

1) Scrivi l'equazione della parabola che passa per il punto P di intersezione della retta 2x - y + 1 = 0 con l'asse y, stacca una corda lunga 4 sulla retta y = 1
e il vertice ha ordinata uguale a -1

RISULTATO:

[math]y=1/2x^2-2x+1 ; y=1/2x^2+2x+1[/math]

2) Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x che ha fuoco in F (5/2 ; 1) e passa per A (-3/2, -2)

RISULTATO:

[math]x=-1/2y^2+y+5/2 ; x=1/18y^2-1/9y-35/18[/math]

3) Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice sulla retta di equazione x+y+1=0 e passa per A(1,4) e B (0,7/3)

RISULTATO:

[math]y=55/3x^2-50/3x+7/3 ; y=1/3x^2+4/3x+7/3[/math]

so che sono lunghi, non serve che gli facciate tutti.
grazie a tutti coloro che mi aiuteranno.
:hi

Aggiunto 2 ore 17 minuti più tardi:

qualcuno può aiutarmi entro stasera?
grazie ancora
victorinox

Aggiunto 3 ore 33 minuti più tardi:

grazie bit5...
una domanda..
avevo provato a rifare il secondo , e l'avevo impostato proprio come hai scritto tu, ma alla fine i risultati non escono:
mi esce:
c= 3/2
b= -2a
4a^2+4a-1=0

all'ultima equazione facendo il delta esce un numero che non è possibile togliere da sotto la radice. delta=32
come faccio?

[BIT5]

Procedo

Aggiunto 11 minuti più tardi:

Come al solito ti occorrono tre informazioni.

La prima e' data dall'ordinata del vertice

L'altra e' data dal punto P.

Il punto P e' il punto di intersezione della retta con l'asse y (che ha equazione x=0) e pertanto siccome appartiene alla retta:

[math] \{x=0 \\ 2x-y+1=0 [/math]

E quindi

[math] \{x=0 \\ 2 \cdot 0 - y + 1 = 0 [/math]

[math] \{x=0 \\ y=1 [/math]

E quindi la parabola passa per il punto P di coordinate (0,1) e la seconda condizione da mettere nel sistema sara':

[math] 1=a0^2+b0+c \to c=1 [/math]

Il sistema (parziale) sara':

[math] \{c=1 \\ - \frac{b^2-4ac}{4a}= -1 [/math]

Da cui

[math] \{c=1 \\ - b^2+4a=-4a [/math]

[math] \{c=1 \\ b^2=8a [/math]

[math] \to a= \frac{b^2}{8} [/math]

La parabola sara' dunque della forma

[math] y= \frac{b^2}{8}x^2+bx+1 [/math]

Troviamo i punti di intersezione tra la parabola generica trovata e la retta y=1

avremo:

[math] 1= \frac{b^2}{8}x^2+bx+1 \to \frac{b^2}{8}x^2+bx=0 [/math]

E' un'equazione di secondo grado.

Risolviamola

[math] x( \frac{b^2}{8}x+b)=0 [/math]

Da cui

x=0

e

[math] \frac{b^2}{8}x+b=0 \to x= \frac{-8b}{b^2}= - \frac{8}{b} [/math]

La distanza tra i due punti (che giacciono sulla retta y=1 ovvero sono in orizzontale) sara' semplicemente la distanza tra le ascisse.

siccome un'ascissa e' zero, sara' sufficiente porre che la distanza (in valore assoluto) dal punto generico di ascissa -8/b e zero sia 4 (come chiede il problema)

Quindi avremo

[math] |0- \frac{8}{b}|=4 \to |- \frac{8}{b}|=4 \to - \frac{8}{b} = \pm 4 [/math]

E quindi

[math] - \frac{8}{b} = 4 \to -8=4b \to b=-2 [/math]

e

[math] - \frac{8}{b}=-4 \to b=2 [/math]

Pertanto le parabole saranno due.

[math] y= \frac12 x^2 -2x+1 \\ y= \frac12 x^2+2x+1 [/math]

Ecco il primo.

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Il secondo e' abbastanza semplice..

Devi ricordare che le parabole con asse parallelo all'asse x sono della forma

[math] x=ay^2+by+c [/math]

Le tre condizioni sono:

a) ascissa del fuoco (5/2=1-delta/4a)
b)ordinata del fuoco (1=-b/2a)
c)passaggio per il punto (

[math] -3/2=a(-2)^2-2b+c [/math]

)

Risolvi il sistema

Aggiunto 13 minuti più tardi:

La terza:

due condizioni sono date dalle condizioni di passaggio per i due punti.

[math] \{4=a1^2+b1+c \\ \frac73=0a+0b+c [/math]

Quindi sostituendo c=7/3 alla prima avrai

[math] 4=a+b+ \frac73 [/math]

da cui

[math] \frac{12}{3}- \frac73=a+b \to b=\frac53-a [/math]

Il fascio di parabole sara'

[math] y= ax^2+\( \frac53-a \)x+ \frac73 [/math]

Sai che il vertice deve stare sulla retta x+y+1=0

questo significa che il vertice soddisfera' l'equazione della retta:

sappiamo che

[math] x_v=- \frac{b}{2a}= - \frac{\( \frac53-a \)}{2a} [/math]

e che

[math] y_v=- \frac{b^2-4ac}{4a}=- \frac{\( \frac53-a \)^2-4a \frac73}{4a} [/math]

E siccome dovra' essere soddisfatta l'equazione della retta allora sara' vero che

[math] x_v+y_v+1=0 \to - \frac{\( \frac53-a \)}{2a} + - \frac{\( \frac53-a \)^2-4a \frac73}{4a} +1=0 [/math]

Risolvi l'equazione in a e trovi il valore di a, da cui poi potrai ricavare il valore di b.