Aiuto, impazzisco con circonferenza!

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esercizi per casa in preparazione alla verifica sto diventando matto.... ho bisogno di risolvermi entro Pasqua mi aiutate per favore?Non voggio approfittare , ma veramente sono a disagio , almeno vedendo come li risolvete imparo sempre di piu'.


1)Le circonferenze c e c' di centri o e o' sono tangenti esternamente nel punto A.?
conduci la tangente comune in A e un'altra tangente BC. le due tangenti s'intersecano in P. dimostra che gli angoli BAC e OPO' sono retti.

2)-Sono date una circonferenza di centro O e diametro AB e la retta r tangente alla circonferenza nel punto B.Scegli sulla circonferenza un punto C qualunque e traccia la retta s tangente alla circonferenza in C. Indica con P il punto di intersezione delle tangenti r ed s. Dimostra che PO è parallelo ad AC.
3) vedi foto



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Per il secondo ho trovato cosi':
PB = PC, perchè sono parte di due trinagoli rettangoli ( OCP = OBP = 90°) con un cateto e l'ipotenusa identici. A questo punto i triangoli PBO e PCO sono congruenti perchè hanno tre lati congruenti. Quindi gli angoli BOP e POC sono uguali e vale:
AOC = 180 - 2 * POB .
il triangolo ACO è isoscele perchè due suoi lati sono uguali ( OC e OA sono entrambi raggi della stessa circonferenza) quindi gli angoli ACO e CAO sono congruenti. Per le proprietà dei triangoli :
180 - 2 * CAO - AOC = 0
180 - 2 * CAO - 180 - 2 * POB = 0
CAO = POB
Quindi PO e AC sono paralleli perchè gli angoli succitati CAO E POB sono corrispondenti di rette tagliate da una traversale, giusto?
O c'è un metodo piu' semplice?

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Ciao,
1)
Dim.
I segmenti di tangente che hanno per estremi P e i punti di tangenza sono congruenti,per il teorema della tangente portata alla circonferenza da un punto esterno P,
Cioè :
CP = PA = PB

Il triangolo PCA è isoscele sulla base AC, si ha che gli angoli
PCA = PAC = α
L'angolo CPr, esterno al triangolo, misura 2α ;
e l'angolo ABP:
ABP = CP^r = 2α
perché angoli opposto al vertice.

Il triangolo PBA è isoscele sulla base Ab, si ha che gli angoli:
PBA = PAB = β
L'angolo BPr, esterno al triangolo, misura 2β ;
e l'angolo APC:
APC = BPr = 2β
perché angoli opposti al vertice.

L'angolo CPB è piatto e misura:
2α + 2β = 2(α + β) =180°
quindi
α + β = 90°
Siccome
CAP + PAB = CAB = α + β
allora
CAB = 90°

Come conseguenza del teorema citato, PO è bisettrice di POA e PO' e bisettrice di AO'B quindi
CPO = OPA = β
APO' = O'PB = α
Allora risulta
OPA + APO' = OPO' = β + α = 90°

a dopo con gli altri.
saluti :-)

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Scusa mi mostri la figura che hai fatto, non capisco "L'angolo CPr, esterno al triangolo, misura 2α ;"
Grazie per l'aiuto.

[f3874de6c1206fe40aa32376201566557615d103]

Ciao,
il disegno del primo problema in figura.
dove si ha :
r è la tangente comune in A; B
C l'ulteriore tangente comune;
C punto di tangenza per la circonferenza di centro O;
B punto di tangenza per la circonferenza di centro O':
P∈r e P∈BC

saluti e buona pasqua :-)

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# antore91 :
Ciao,
il disegno del primo problema in figura.
dove si ha :
r è la tangente comune in A; B
C l'ulteriore tangente comune;
C punto di tangenza per la circonferenza di centro O;
B punto di tangenza per la circonferenza di centro O':
P∈r e P∈BC

saluti e buona pasqua :-)

Si man riesco a capire sempre perchè 'angolo CPr, esterno al triangolo, misura 2α..
Pi scrivi AB^P = CP^r = 2α perché opposti al vertice, ma quale vertice???

Buon a Pasqua anche a te.

Approfitto anche per l'esercizio 5 ho iniziato cosi'.
ho fatto un disegno non so se giusto ho iniziato con ill discorso che le due corde sono parallele ma poi dovrei dimostrare per essere isoscele che CA=DB..