Aiuto eccentricità ellisse
Ciao, non riesco a capire come trovare l'eccentricità. Potresti indicarmi i passaggi e descriverli brevemente? I conti non sono necessari se vi rende più veloce la soluzione. Grazie in anticipo.
Determina l’eccentricita di un’ellisse, sapendo che F1VerticeF2 = 60 gradi, dove V è uno dei vertici dell’ellisse appartenente all’asse minore e F1 ed F2 sono i due fuochi.
Determina l’eccentricita di un’ellisse, sapendo che F1VerticeF2 = 60 gradi, dove V è uno dei vertici dell’ellisse appartenente all’asse minore e F1 ed F2 sono i due fuochi.
Risposte
Hai un'ellisse che puoi costruire come ti piace (ovvero il Vertice relativo all'asse minore potrai metterlo a tuo piacimento sull'asse y o l'asse x (e quindi i fuochi sull'altro asse))-
Disegnamo l'ellisse con fuochi sull'asse x e centro nell'origine.
I fuochi sono simmetrici rispetto all'origine, pertanto se l'angolo F1VF2 è 60 gradi, avrai due triangoli rettangoli di angoli 30,60,90.
L'eccentricità è il rapporto tra la radice di a^2-b^2 (dove a e b sono i semiassi orizzontali e verticali nonché la semidistanza tra i due fuochi cioè la distanza tra fuoco e origine) e a (semiasse orizzontale)
Posto dunque b il semiasse verticale (che è cateto maggiore del triangolo di angoli 30,60,90 ovvero di metà di un triangolo equilatero)), avrai che FO sarà
(lo ricavi ricordando che in un triangolo rettangolo 30,60,90, detta L l'ipotenusa, il cateto minore sarà l/2 (perché metà del lato del triangolo equilatero) e il cateto maggiore sarà
E siccome il cateto maggiore sai essere b, allora il cateto minore sarà, facendo i conti,
Quindi
Da cui ricaviamo
(ho razionalizzato)
E quindi l'eccentricità sara' il rapporto tra
E dunque
Ho modificato il post almeno se a qualcun altro servisse un esercizio analogo, la soluzione è corretta
Disegnamo l'ellisse con fuochi sull'asse x e centro nell'origine.
I fuochi sono simmetrici rispetto all'origine, pertanto se l'angolo F1VF2 è 60 gradi, avrai due triangoli rettangoli di angoli 30,60,90.
L'eccentricità è il rapporto tra la radice di a^2-b^2 (dove a e b sono i semiassi orizzontali e verticali nonché la semidistanza tra i due fuochi cioè la distanza tra fuoco e origine) e a (semiasse orizzontale)
Posto dunque b il semiasse verticale (che è cateto maggiore del triangolo di angoli 30,60,90 ovvero di metà di un triangolo equilatero)), avrai che FO sarà
[math] b \frac{\sqrt{3}}{3} [/math]
(lo ricavi ricordando che in un triangolo rettangolo 30,60,90, detta L l'ipotenusa, il cateto minore sarà l/2 (perché metà del lato del triangolo equilatero) e il cateto maggiore sarà
[math] \frac{l \sqrt3}{2} [/math]
.E siccome il cateto maggiore sai essere b, allora il cateto minore sarà, facendo i conti,
[math] b \frac{\sqrt{3}}{3} [/math]
)Quindi
[math] \sqrt{a^2-b^2} = b\frac{\sqrt{3}}{3} [/math]
Da cui ricaviamo
[math] a^2-b^2= \frac{b^2}{3} [/math]
[math] a^2=\frac43 b^2 \to a=\frac{2b}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt3 b}{3}[/math]
(ho razionalizzato)
E quindi l'eccentricità sara' il rapporto tra
[math] \sqrt{a^2-b^2} [/math]
che abbiamo visto essere la distanza Fuoco - Origine quindi [math] \frac{b \sqrt3}{3} [/math]
e a, che abbiamo calcolato essere [math] \frac{2b \sqrt3}{3} [/math]
E dunque
[math] e = \frac{ \frac{b \sqrt3}{3}}{\frac{2 \sqrt3 b}{3}} = \frac{1}{2}[/math]
Ho modificato il post almeno se a qualcun altro servisse un esercizio analogo, la soluzione è corretta
Ciao, ho seguito il tuo ragionamento e sono riuscito a trovare l'errore (ho impostato male il disegno del triangolo). Tuttavia non ho seguito il tuo calcolo e ho preferito farl oda me. Il risultato è 1/2 che è quello del libro. In ogni caso l'importante è capire il ragionamento e i propri errori. Ti ringrazio molto.
Fatto di corsa.
Sicuramente ho fatto un errore di calcolo.
Lieto di esserti stato di aiuto!
Aggiunto 2 giorni più tardi:
Trovato l'errore e corretto ;)
Sicuramente ho fatto un errore di calcolo.
Lieto di esserti stato di aiuto!
Aggiunto 2 giorni più tardi:
Trovato l'errore e corretto ;)
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