Aiuto con problema di trigonometria
Salve a tutti! Ho bisogno di aiuto con un problema di trigonometria.
IL TRIANGOLO RETTANGOLO ABC HA L IPOTENUSA DI MISURA BC= 2a E L’angolo ACB=30 gradi. Costruisci esternamente al triangolo la semicirconferenza di diametro BC e considera su di essa un punto P. Determina la posizione di P affinchè sia soddisfatta la relazione AP^2= radice quadrata 3 x PB x PC.
grazie a tutti, il risultato è x = pg/3.
IL TRIANGOLO RETTANGOLO ABC HA L IPOTENUSA DI MISURA BC= 2a E L’angolo ACB=30 gradi. Costruisci esternamente al triangolo la semicirconferenza di diametro BC e considera su di essa un punto P. Determina la posizione di P affinchè sia soddisfatta la relazione AP^2= radice quadrata 3 x PB x PC.
grazie a tutti, il risultato è x = pg/3.
Risposte
Ciao, avete fatto il teorema di Carnot?
Aggiunto 22 ore 1 minuto più tardi:
Visto che non rispondi, ti do le linee guida con il teorema di Carnot.
Magari se non aiuto te, può tornare utile a qualche altro studente che si trovi a dover risolvere lo stesso problema o un problema simile ;)
Se poi
- lo avete fatto
- vuoi dettagli
Mi dici
Se invece non lo avete fatto, sarà da risolvere in altra maniera.
Il triangolo BPC è inscritto in una semicirconferenza, quindi è rettangolo di ipotenusa BC = 2a
Posto x l'angolo PBC avrai che:
PB= 2a cos x
PC= 2a sen x
L'angolo ABC è 60, l'angolo ABP sarà 60+x
E con Carnot
PA^2=PB^2+BA^2-2 PB BA cos (60+x)
BA=a perché cateto adiacente all'angolo di 60 gradi (e quindi pari a metà dell'ipotenusa, in quanto i triangoli 30/60/90 sono metà di un triangolo equilatero (ma comunque lo ricavi facilmente sapendo che BA=2a cos 60 ovvero (2a)(1/2)
Quindi
PA^2 = 4a^2 cos^2 + a^2 - 2(2a cos x)(a)(cos (60+x))
Con le formule di addizione del coseno sappiamo che
cos(60+x) = cos60cosx - sen60senx ovvero
Fai un po' di conti e ottieni che PA^2= 2a^2cos^2 x +a^2 +
che dovrà essere uguale a
Semplificando tutte le a^2 e dopo alcuni calcoli otterrai
Ricordando che
sostituisci, sommi e ottieni
il membro a sinistra altro non è che il quadrato di
e dunque
quindi
dividi tutto per cos x e ottieni
la tangente di x vale radice di 3 per x = 60 gradi (ovvero
Se avessimo posto l'angolo PCB = x avremmo trovato
Cosa che forse ci avrebbe portato a pensare di aver errato, invece il risultato sarebbe stato corretto (seppure differente dal libro, perché l'incognita spesso è discrezionale e a scelta)
Vero è che è molto più vantaggioso scegliere x adiacente al lato che misura a e non a quello che misura
Aggiunto 1 minuto più tardi:
PS per velocità ho omesso le discussioni dei denominatori.
Ovviamente quando dividi per cos x per ricavare la tangente, sarà x diverso da 90
Non ho neppure dedicato tempo ai casi limite iniziali che dovrebbero essere semplici
Se hai bisogno chiedi.
Aggiunto 22 ore 1 minuto più tardi:
Visto che non rispondi, ti do le linee guida con il teorema di Carnot.
Magari se non aiuto te, può tornare utile a qualche altro studente che si trovi a dover risolvere lo stesso problema o un problema simile ;)
Se poi
- lo avete fatto
- vuoi dettagli
Mi dici
Se invece non lo avete fatto, sarà da risolvere in altra maniera.
Il triangolo BPC è inscritto in una semicirconferenza, quindi è rettangolo di ipotenusa BC = 2a
Posto x l'angolo PBC avrai che:
PB= 2a cos x
PC= 2a sen x
L'angolo ABC è 60, l'angolo ABP sarà 60+x
E con Carnot
PA^2=PB^2+BA^2-2 PB BA cos (60+x)
BA=a perché cateto adiacente all'angolo di 60 gradi (e quindi pari a metà dell'ipotenusa, in quanto i triangoli 30/60/90 sono metà di un triangolo equilatero (ma comunque lo ricavi facilmente sapendo che BA=2a cos 60 ovvero (2a)(1/2)
Quindi
PA^2 = 4a^2 cos^2 + a^2 - 2(2a cos x)(a)(cos (60+x))
Con le formule di addizione del coseno sappiamo che
cos(60+x) = cos60cosx - sen60senx ovvero
[math] \frac12 \cos x -\frac{\sqrt3}{2} \sin x[/math]
Fai un po' di conti e ottieni che PA^2= 2a^2cos^2 x +a^2 +
[math] 2 \sqrt3 [/math]
sen x cos xche dovrà essere uguale a
[math] \sqrt3 \ BP \ PC = \sqrt3 (2a \sin x) (2a \cos x) = 4 \sqrt3 a^2 \sin x \cos x [/math]
Semplificando tutte le a^2 e dopo alcuni calcoli otterrai
[math] 2 \cos^2 x + 1 - 2 \sqrt3 \sin x \cos x [/math]
Ricordando che
[math] 1 = \sin^2 x + \cos^2 x [/math]
sostituisci, sommi e ottieni
[math] 3 \cos^2 x - 2 \sqrt3 \sin x \cos x + \sin^2 x = 0[/math]
il membro a sinistra altro non è che il quadrato di
[math] (\sqrt3 \cos x - \sin x)^2 [/math]
e dunque
[math] (\sqrt3 \cos x - \sin x)^2 = 0[/math]
quindi
[math] \sqrt3 \cos x - \sin x = 0[/math]
dividi tutto per cos x e ottieni
[math] \sqrt3 - \tan x = 0[/math]
la tangente di x vale radice di 3 per x = 60 gradi (ovvero
[math] \frac{\pi}{3} [/math]
Se avessimo posto l'angolo PCB = x avremmo trovato
[math] \frac{\pi}{6} [/math]
Cosa che forse ci avrebbe portato a pensare di aver errato, invece il risultato sarebbe stato corretto (seppure differente dal libro, perché l'incognita spesso è discrezionale e a scelta)
Vero è che è molto più vantaggioso scegliere x adiacente al lato che misura a e non a quello che misura
[math] a \sqrt3[/math]
Aggiunto 1 minuto più tardi:
PS per velocità ho omesso le discussioni dei denominatori.
Ovviamente quando dividi per cos x per ricavare la tangente, sarà x diverso da 90
Non ho neppure dedicato tempo ai casi limite iniziali che dovrebbero essere semplici
Se hai bisogno chiedi.
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