Aiuto con i sistemi parametrici ...

[mirk95]

ciao a tutti ... mi potreste aiutare a risolvere questo sistema parametrico???
Eccolo:

x=-1/3y^2+1
3kx+ky=k-3
x>o uguale 0 e y>o uguale o

Grazie 1000 in anticipo...

[bimbozza]

Consideriamo l'equazione che non contiene parametri, cioè la prima.
Essa è una parabola con vertice in V=(1,0) e che interseca gli assi in

[math]A=(0, \sqrt 3)[/math]

,

[math]B=(0,- \sqrt 3)[/math]

.

Le due disequazioni ci danno delle limitazioni, infatti ci dicono di considerare la parte del piano in cui vale x>=0 e y>=0 cioè il primo quadrante, quindi prendiamo in esame solo la parte della parabola che si trova tra A e V.

Adesso guardiamo l'equazione parametrica.

3kx+ky=k-3

y=-3x+1-3/k dove k, trovandosi al denominatore, deve essere diverso da zero.

Sostituiamo in tale fascio i punti V e A.

in V:

[math] 0=-3+1-3/k [/math]

da cui

[math]k=-3/2[/math]

in A:

[math] \sqrt3= 1-3/k[/math]

da cui

[math]k=-3( \sqrt 3 +1)/2[/math]

Dovendo stare tra A e V (compresi per via delle limitazioni), si ha [math]-3( \sqrt 3 +1)/2

[mirk95]

Scusa bimbozza se ti disturbo ancora.. ma nel mio libro c'è una soluzione differente...
Eccola:
-4

[bimbozza]

nell'esercizio precedente, ho dimenticato di considerare un punto importante...quello di tangenza...

Nel caso che mi hai postato ora, il vertice è sempre (1,0) e A diventa (0,2).

Per trovare il punto di tangenza P dobbiamo impostare risolvere il sistema formato dalla parabola e dal fascio di rette imponendo che il delta dell'equazione sia pari a 0 (condizione di tangenza).

[math]\Delta=k^2+12k^2+16k=0[/math]

quindi k=0 e k= -16/13

dato che k=0 non è accettabile, ci rimane solo k=-16/13.

A questo punto devi guardare il grafico: come puoi ben vedere se la retta interseca la parabola tra A e V si ha una sola soluzione, mentre se l'interseca tra V e P se ne hanno 2 (cioè ci sono 2 intersezioni).

Ricapitolando, dato che la retta passante per A ha k=-4 , per V ha k=-4/3 e per P ha k=-16/13 si ha:
1 soluzione se -4