Aiuto (306678)

[aleform1972]

Non riesco a dimostrare questo problema: P e Q sono i punti medi dei segmenti adiacenti AB e BC e O il punto medio del segmento AC.
Dimostra che PO congruente a QC

[gio.cri]

Ciao, allego un'immagine per capire meglio il concetto.
Sappiamo che due segmenti, AB e BC, sono adiacenti, ovvero giacciono sulla stessa retta. Prendiamo due segmenti generici con lunghezze diverse (vale anche per AB=BC, pero' in questo caso si trova la soluzione semplice).

A questo punto, in blu, troviamo i punti medi P e Q dei rispettivi segmenti AB e BC; mentre in verde, troviamo il punto medio del segmento AC che indichiamo con O.

Si vuole dimostrare che:

[math] PO = QC [/math]

Sappiamo che, bisogna partire da valori noti. Quindi, possiamo imporre il seguente sistema:

[math] 1) AP=PB [/math]

[math] 2) AO=OC [/math]

[math] 3) BQ=QC [/math]

[math] 4) PO=PB+BO [/math]

Adesso, sviluppiamo un po' i termini:

[math] 1) AP=PB [/math]

[math] 2) AP+PB+BO=OQ+QC [/math]

[math] 3) BO+OQ=QC [/math]

[math] 4) PO=PB+BO [/math]

Sistemiamo un po' il tutto:

[math] 1) AP=PB [/math]

[math] 2) AP+PB+BO=OQ+QC [/math]

[math] 3) QC=BO+OQ [/math]

[math] 4) PO=PB+BO [/math]

Sostituiamo la 1) e la 3) nella 2):

[math] 1) AP=PB [/math]

[math] 2) AP+AP+BO=OQ+BO+OQ [/math]

[math] 3) QC=BO+OQ [/math]

[math] 4) PO=PB+BO [/math]

Isoliamo solo la 2):

[math] 2) AP+AP+BO=OQ+BO+OQ [/math]

[math] 2) 2AP+BO=2OQ+BO [/math]

[math] 2) AP=OQ [/math]

Sostituiamo questa relazione nel sistema che abbiamo trovato:

[math] 1) AP=PB [/math]

[math] 2) AP=OQ=PB [/math]

[math] 3) QC=BO+OQ [/math]

[math] 4) PO=PB+BO [/math]

Troveremo che:

[math] 1) AP=PB [/math]

[math] 2) AP=OQ=PB [/math]

[math] 3) QC=BO+OQ [/math]

[math] 4) PO=OQ+BO [/math]

Ovvero, la 3) e la 4) sono uguali!!