Due problemi di Geometria

[johnni1337]

Salve,
qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questi due problemi?

1) Calcola la lunghezza dei lati di un trapezio isoscele, sapendo che la sua area è 320cm², l'altezza è 16cm e il perimetro è 80cm.
[R: 8cm;32cm;20cm]
------
2) Un quadrato ha la diagonale di 18,382cm ed è isoperimetrico ad un rombo che ha una diagonale lunga 24cm. Calcola il perimetro del rombo, l'area del quadrato e quella del rombo.
[R: 52cm;169cm²;120cm²]
------
Grazie.

[SteDV]

PROBLEMA 1
Conoscendo l'area (A) e l'altezza (h) del trapezio, puoi ricavare la somma delle basi (B + b):

[math]B + b = 2\frac{A}{h} = 2\frac{320}{16} = 40 \text{ cm}[/math]

Sottraendo la somma delle basi al perimetro, puoi ricavare la misura dei due lati obliqui. Essendo il trapezio isoscele, puoi dividerla per 2, per ottenere la misura di uno solo dei due:

[math]l = \frac{2p - (B + b)}{2} = \frac{80 - 40}{2} = 20 \text{ cm}[/math]

A questo punto, puoi utilizzare le misure del lato obliquo e dell'altezza per calcolare (con il teorema di Pitagora) la differenza tra le basi, da cui poi otterrai le basi stesse:

[math]B - b = 2 \sqrt{l^2 - h^2} = 2 \sqrt{20^2 - 16^2} = 2 \sqrt{144} = 24 \text{ cm}[/math]

Come puoi facilmente comprendere con un disegno, sottraendo la differenza delle basi e i due lati obliqui al perimetro, ottieni il doppio della base minore:

[math]2b = 2p - 2l - (B - b) = 80 - 2 \cdot 20 - 24 = 80 - 40 - 24 = 16 \text{ cm}[/math]

[math]b = \frac{2b}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}[/math]

[math]B = (B + b) - b = 40 - 8 = 32 \text{ cm}[/math]

E hai finito! ;)

[b}PROBLEMA 2
Cominciamo a calcolare il lato e l'area del quadrato:

[math]l_Q = \frac{d_Q}{\sqrt{2}} = \frac{18,382}{\sqrt{2}} = 13 \text{ cm}[/math]

[math]A_Q = l_Q^2 = 13^2 = 169 \text{ cm}^2[/math]

Il perimetro del quadrato è uguale al perimetro del rombo, perciò sono uguali anche i lati:

[math]l_R = l_Q = 13 \text{ cm}[/math]

[math]2p_R = 2p_Q = 13 \cdot 4 = 52 \text{ cm}[/math]

Con il lato del rombo e la metà della diagonale che conosciamo possiamo ricavare (con il teorema di Pitagora) la metà della diagonale mancante, raddoppiarla e calcolare l'area:

[math]d_2 = 2 \sqrt{l_R^2 - \frac{d_1}{2}^2} = 2 \sqrt{13^2 - \frac{24}{2}^2} = 2 \sqrt{25} = 10 \text{ cm}[/math]

[math]A_R = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120 \text{ cm}^2[/math]

Anche questo è fatto!
Ti suggerisco di ripercorrere il procedimento passo-passo, aiutandoti con un disegno. In questo modo, dovresti riuscire a capire i passaggi che possono sembrarti meno chiari.

In caso di dubbi, chiedi pure.