Aiuto, ti prego.
Una problema di terza sui poliedri:
Una prisma quadrangolare regolare di sughero (ps=0,25) presenta una cavità a forma di piramide avente la base coincidente con una base del prisma e il vertice nel centro della base opposta. Sapendo che l'area di base del prisma è 400 cm² e che l'apotema della piramide misura 26 cm, calcola l'area della superficie, il volume e il peso del solido. La risposta è 3360 cm²; 6400 cm³; 1,6kg.
Grazie in anticipo.
Una prisma quadrangolare regolare di sughero (ps=0,25) presenta una cavità a forma di piramide avente la base coincidente con una base del prisma e il vertice nel centro della base opposta. Sapendo che l'area di base del prisma è 400 cm² e che l'apotema della piramide misura 26 cm, calcola l'area della superficie, il volume e il peso del solido. La risposta è 3360 cm²; 6400 cm³; 1,6kg.
Grazie in anticipo.
Risposte
Innanzitutto disegnamo la figura in cui chiamo
V = centro base prisma
O = centro base piramide
VO = altezza solido
VH = apotema cavità a forma di piramide
1) Estraggo la radice quadrata dalla superficie di base (= cm^2 400) e ottengo la misura del lato di base: cm 20
Osservo il triangolo rettangolo HOV in cui OV = cateto maggiore, VH=ipotenusa e HO = cateto minore
H è il punto in cui O si unisce al lato di base, per cui HO = 1/2 lato di base, ossia 20/2 = 10 cm
Applico il terema di Pitagora al triangolo HOV e ottengo la misura dell'altezza del solido, ossia 24 cm
V Piramide = S base * h/3 = 400 * 24/3 = 3.200 cm^3
V Prisma = S base * h = 400 * 24 = 9.600 cm^3
Poiche' si tratta di una cavita' devo sottrarre il volume della piramide da quello del prisma, cioe':
Volume solido = cm^3 (9.600 - 3.200) = cm^3 6.400
cm^3 6.400 = dm^3 6,400 (questa equivalenza è necessaria perché 1 kg corrisponde a 1 dm^3
Peso = Volume * peso specifico = kg 6,400 * 0,25 = kg 1,600
Superficie solido = Superficie laterale prisma + Superficie base prisma + Superficie laterale piramide
Superficie laterale prisma = 2p * h = cm^2 20 * 4 * 24 = cm^2 1.920
Superficie base prisma = 400 cm^2
Superficie laterale piramide = 2p * apotema/2 = cm^ 20 * 4 * 26 = cm^2 1.040
Superficie solido = cm^2(1,920 + 400 + 1.040) = cm^2 3.360
V = centro base prisma
O = centro base piramide
VO = altezza solido
VH = apotema cavità a forma di piramide
1) Estraggo la radice quadrata dalla superficie di base (= cm^2 400) e ottengo la misura del lato di base: cm 20
Osservo il triangolo rettangolo HOV in cui OV = cateto maggiore, VH=ipotenusa e HO = cateto minore
H è il punto in cui O si unisce al lato di base, per cui HO = 1/2 lato di base, ossia 20/2 = 10 cm
Applico il terema di Pitagora al triangolo HOV e ottengo la misura dell'altezza del solido, ossia 24 cm
V Piramide = S base * h/3 = 400 * 24/3 = 3.200 cm^3
V Prisma = S base * h = 400 * 24 = 9.600 cm^3
Poiche' si tratta di una cavita' devo sottrarre il volume della piramide da quello del prisma, cioe':
Volume solido = cm^3 (9.600 - 3.200) = cm^3 6.400
cm^3 6.400 = dm^3 6,400 (questa equivalenza è necessaria perché 1 kg corrisponde a 1 dm^3
Peso = Volume * peso specifico = kg 6,400 * 0,25 = kg 1,600
Superficie solido = Superficie laterale prisma + Superficie base prisma + Superficie laterale piramide
Superficie laterale prisma = 2p * h = cm^2 20 * 4 * 24 = cm^2 1.920
Superficie base prisma = 400 cm^2
Superficie laterale piramide = 2p * apotema/2 = cm^ 20 * 4 * 26 = cm^2 1.040
Superficie solido = cm^2(1,920 + 400 + 1.040) = cm^2 3.360
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